高等数学A课程教学大纲北京师范大学数学科学学院_高等数学a教学大纲

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大学数学(B)

Undergraduate Mathematics(B)

【课程编号】（必备项）【学分数】（12）【学时数】（216）

【课程类别】（学科基础课）【适用专业】（化生电体等）【编写日期】（2007-5-24）

一、教学目标

目前，我国非数学专业大学数学课程教学大体上分为三类四级：理科类（大学数学A）、工科类（含大学数学B和大学数学C）、文科类（大学数学D）。它是为培养我国社会主义现代化建设在各个领域所需要的高质量专门人才而设立，其中大学数学(B)是工科类本科对数学要求较高的专业学生必修的一门重要基础理论课。通常适合如下专业：化学、电子商务、工商管理、会计、资源环境、环境工程、环境系统、资源环境与工程、信息管理系统、人力资源、公共卫生、体育经济等。

通过对大学数学（B）的学习要使学生掌握以下内容：

1、函数与极限；

2、一元函数微积分；

3、空间解析几何；

4、多元函数微积分；

5、无穷级数；

6、常微分方程；

7、线性代数（某些专业还需要概率统计）等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。

在教授这些知识的过程中，要通过各个教学环节和各种教学手段有意识地、有目的地逐步培养学生的实际运算能力、空间想象能力、逻辑推理能力、抽象思维能力和自学创新能力，尤其还要注意培养学生综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。

二、教学内容和学时分配

本课程安排分大学数学B(I)和B(II)两学期授课，总学时为216= 108+108，学分为12=6+6。

（一）总论（或绪论、概论等）

学时（课堂讲授学时+课程实验学时）

选词说明：在下面的表述中，对课程教学基本内容的要求由低到高的用词通常为：“了解”、“会„”、“理解”、“掌握”、“熟悉”等。具体含义解释如下：

了解：能描述所讲内容的大概意思、用途和用法，能知道这些内容的出处并在需要时能随时查找出来。

会„：在对所讲内容了解的基础上，还要会应用这些知识去解决一些比较简单的理论或实际问题。如会求、会用、会解、会算、会建立、会判断、会陈述、会举出„实例等等。

理解：对所讲内容能用自己的语言进行讲解或作出解释，并能提出为什么„的原因。在“会„”的基础上，对所得结果能进行正确的评价。

掌握：在对所讲问题理解的基础上，还要能举一反三，触类旁通；对内容的实质内涵能正确提取并加以区分；能从不同角度对内容作出正确解释；能用比较简单的方法解决一些比较复杂的问题，并对结果作出正确估计。

熟悉：能综合利用所掌握的知识对新问题进行全面、正确的分析研究并制定合理的解决方案或方法，获得正确结果，并对这些方法和结果进行总结推广。打*号的内容未计学时也不作要求，学生可自学，老师可选讲。

（二）主要内容（BI）：(共108学时)第一章

函数、极限、连续

学时16（课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时）

1.理解函数的概念及函数的特性（奇偶性、单调性、周期性、有界性）。2.理解复合函数和反函数的概念。熟悉基本初等函数的性质及其图形。3.会建立简单实际问题中的函数关系式。4.理解极限的概念(对于给出

求N或不作过高的要求)，掌握极限四则运算法则及换元法则。

5.理解极限存在的夹逼准则，了解单调有界准则，会用两个重要极限求极限。6.了解无穷小、无穷大以及无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。7.理解函数的点连续和连续函数的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。8.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理和最值定理)。

第二章

一元函数微分学

学时28（课堂讲授22学时+课程实验与习题课6学时）1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些几何量和物理量。2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。3.了解高阶导数的概念。掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。4.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。5.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

6.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最值应用问题。8.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。9.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。*10.了解求方程近似解的二分法和切线法。

第三章

一元函数积分学

学时30（课堂讲授22学时+课程实验与习题课8学时）1.理解原函数与不定积分的概念及性质。掌握不定积分的基本公式、换元法和分部积分法。

2.理解定积分的概念及性质，了解可积条件。会求简单的有理函数的积分。3.理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理，掌握牛顿(Newton)-莱布尼兹(Leibniz)公式。

4.掌握定积分的换元法和分部积分法。

5.了解广义积分的概念以及广义积分的换元法和分部积分法。*6.了解定积分的近似计算法(矩形法、梯形法和抛物线法)。

7.掌握用定积分表达一些几何量与物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法。

第四章

无穷级数

学时16（课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时）1.理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2.掌握几何级数和p-级数的收敛性。

3.了解正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。4.了解交错级数的莱布尼兹定理，*会估计交错级数的截断误差。

5.了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。

7.掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法(区间端点的收敛性可不作要求)。8.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。xe，sinx，cosx，ln(1x)(1x)9.会用和的马克劳林(Maclaurin)展开式将一些简单的函数间接展开成幂级数。

*10.了解幂级数在近似计算上的简单应用。

*11.了解函数展开为傅里叶(Fourier)级数的狄利克雷(Dirichlet)条件，会将定义在(，)和(l，l)上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在(0，l)上的函数展开为正弦或余弦级数。

第五章

常微分方程

学时18（课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时）

1.了解微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2.掌握变量可分离方程及一阶线性方程的解法。会解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程，了解用变量代换求方程的思想。

3.会解全微分方程。

(n)4.会用降阶法简化下列方程：yf(x)，yf(x,y)和yf(y,y)。

5.理解二阶线性微分方程解的结构。

6.掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并了解高阶常系数齐次线性微分方程的解法。7.会求自由项形如P(n)(x)e、e(AcosxBsinx)的二阶常系数非齐次线性微

xx分方程的特解。8.会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。

（三）主要内容（BII）：(共108学时)第六章

向量代数与空间解析几何

学时18（课堂讲授14学时+课程实验与习题课4学时）1.理解空间直角坐标系。理解向量的概念及其表示，掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，掌握两个向量垂直、平行的条件。2.掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。3.掌握平面的方程和直线的方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。4.理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

5.了解空间曲线的参数方程和一般方程。6.了解曲面的交线在坐标平面上的投影。第七章

多元函数微分学

学时16（课堂讲授12学时+课程实验与习题课4学时）

1.理解多元函数的概念。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3.理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解一阶全微分形式的不变性。

4.了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。

5.掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。6.会求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。7.了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。8.了解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解较简单的最值应用问题。

第八章

多元函数积分学

学时26（课堂讲授20学时+课程实验与习题课6学时）

1.理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质。

2.掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)，了解三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。*3.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。会计算两类曲线积分。

*4.掌握格林(Green)公式，会用平面曲线积分与路径无关的条件。

*5.了解两类曲面积分的概念及高斯(Gua)、斯托克斯(Stokes)公式并会计算两类曲面积分。了解散度、旋度的计算公式。7.会用重积分（*曲线积分及曲面积分）求一些几何量与物理量(如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功等)。

第九章

线性代数

学时48（课堂讲授38学时+课程实验与习题课10学时）

1．会求全排列的逆序数，了解对换的性质；理解行列式的定义，熟悉二、三阶行列式的计算。

2．掌握行列式的运算性质和展开性质；熟悉克莱姆法则。

3．了解矩阵的定义，掌握矩阵的运算法则；会判别方阵的可逆性并掌握可逆矩阵求逆的方法。

4．了解矩阵的分块法及其运算性质。

5．了解向量的一般定义及其运算性质；掌握向量组的线性相关性及其判别法；会求向量组的秩和最大线性无关组。

6．掌握矩阵的初等变换法及其用途，了解初等方阵的定义及运算性质。

7．了解向量空间的有关定义，会求向量空间的维数和基并会用基生成该向量空间。8．会判别线性方程组解的存在性，并能利用矩阵的初等行变换求解线性方程组。9．了解向量的内积、方阵的特征值、特征向量及矩阵的相似性的定义，并会求方阵的特征值、特征向量，会判别相似矩阵的存在性。

10．掌握实对称矩阵的相似矩阵的计算法，尤其是对角化方法。会用实对称矩阵的对角化方法化二次型为标准型。会用配方法化二次型为标准型。

11．会判别矩阵及二次型的正定性。

*12.了解线性空间的定义与性质，理解线性空间的维数、基与坐标的概念。掌握基变换与坐标变换公式，熟悉线性变换及其矩阵表示式。

三、教材与学习资源：

教材：《高等数学》(第五版)上、下册，《线性代数》第四版。同济大学应用数学系主编，高等教育出版社 参考书目：

1.《高等数学》上、下册，李天林编，北京师范大学出版社 2.大学数学《一元微积分》，萧树铁主编，高等教育出版社

3.大学数学《多元微积分及其应用》，萧树铁主编，高等教育出版社

4.《高等数学释疑解难》工科数学课程教学指导委员会编，高等教育 出版社

5.《高等数学例题与习题》 同济大学高等数学教研室编，同济大学 出版社

6．王金金、李广民、于力编：《新编高等数学学习辅导》—— 配合同济高等数 学（第四版上、下），西安电子科技大学出版社，1999.7.《工科数学分析基础》上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社

8.《数学分析》上、下册，复旦大学陈传璋等编，高等教育出版社

9.《微积分(Calculus)(英文版)》，(美)Dale Varberg，Edwin J.Purcell，Steven E.Rigdon著，机械工业出版社

10.《Calculus》，Zhang Fengling，Yao Miaoxin，Zhang Yuhuan，Tianjin Unversity Pre

四、先修课要求及教学策略与方法建议

要求学员先修完成初等数学课程； 教学策略精讲多练；

建议学员课前预习，课堂认真听讲，课后多练习。

五、考核方式：

闭卷考试（120分钟）

北京师范大学数学科学院

蔡俊亮

2007年5月24日星期四