届高考数学理科试题大冲关：7.4基本不等式_高考数学不等式题集

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2014届高考数学理科试题大冲关：基本不等式

一、选择题

1．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()

A．2

C．12B．4 D．6

142．已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋()ab

7A.2

9C.2B．4 D．5

3．函数y＝log2x＋logx(2x)的值域是()

A．(－∞，－1]

C．[－1,3]B．[3，＋∞)D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

xz4．已知x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0，则()yA．最小值为8

1C．最小值为8B．最大值为81D．最大值为8

215．已知x>0，y>0，且＋1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是()xy

A．m≥4或m≤－2

C．－2

11k6．设a>0，b>0，且不等式＋≥0恒成立，则实数k的最小值等于()aba＋b

A．0

C．－4

二、填空题

117．设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋＋4y2)·的最小值为________． yx28．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数ƒ(x)＝的图象交于P，Q两x

点，则线段PQ长的最小值是____．B．4 D．－2

9．已知二次函数f(x)＝ax2－x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则c＋2a＋2________． ac

三、解答题

10．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．

ab411．已知a，b>0，求证：.baa＋b

12．某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．

(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)

详解答案

一、选择题

1．解析：由a⊥b得a·b＝0，即(x－1,2)·(4，y)＝0.∴2x＋y＝2.则9x＋3y＝32x＋3y≥3·3＝23＝29＝6.＋

1当且仅当32x＝3y即x＝，y＝1时取得等号． 2

答案：D

141141b4a12．解析：依题意得＝a＋b)＝＋(＋)]≥(5＋2ab2ab2ab2

a＋b＝2b4aaba>0，b>09＝，当且仅当ab2 24149，即a＝，b33ab2

答案：C

3．解析：y＝log2x＋logx(2x)＝1＋(log2x＋logx2)．

如果x>1，则log2x＋logx2≥2，如果0

∴函数的值域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 答案：D

xzxzxz114．解析：≤.＝yx＋2zx＋4xz＋4zx4z8＋4zx

x4z当且仅当＝，x＝2z时取等号． zx

答案：D

215．解析：∵x>0，y>0，且＝1，xy

214yx∴x＋2y＝(x＋2y)()＝44＋xyxy4yx8，当且仅当4y2＝x2，xyxy

21x＝2y时取等号，又1，此时x＝4，y＝2，xy

∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立，即8>m2＋2m，解得－4

a＋b2a＋b2ba11k6．解析：0得k≥－＝2≥4(a＝b时取等号)，所aba＋bababab

a＋b2a＋b2

以－≤－4，因此要使k≥恒成立，应有k≥－4，即实数k的最小值等于－4.abab

答案：C

二、填空题

1117．解析：(x2)(＋4y2)＝1＋4＋4x2y2＋1＋4＋2yxxy4x2y2＝9，当且仅当4x2y2xy

＝1

xy|xy|时等号成立． 2

答案：9

8．解析：由题意知：P、Q两点关于原点O对称，不妨设P(m，n)为第一象限中的点，244则m＞0，n＞0，n＝，所以|PQ|2＝4|OP|2＝4(m2＋n2)＝4(m2＋≥16(当且仅当m2＝，即mmm

m2时，取等号)，故线段PQ长的最小值是4.答案：4

9．解析：由值域可知该二次函数的图象开口向上，且函数的最小值为0，4ac－1因此有0，4a

1从而c＝>0，4a

∴c＋2a＋221(8a)＋(＋4a2)≥2×4＋2＝10，aca4a

2a＝8a，当且仅当14a＝4a，2 1，即a＝时取等号．故所求的最小值为10.2

答案：10

三、解答题

10．解：(1)∵x>0，y>0，∴xy＝2x＋8y≥16xy

即xy≥8xy，∴xy≥8，即xy≥64.当且仅当2x＝8y

即x＝16，y＝4时，“＝”成立．

∴xy的最小值为64.(2)∵x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，28∴2x＋8y＝xy，即＝1.yx

282x8y∴x＋y＝(x＋y()＝10≥10＋2yxyx18 yx

2x8y＝x＝2y＝12时“＝”成立． yx

∴x＋y的最小值为18.ab11．证明：∵≥2ba

ba

＝2>0，a＋b≥ab>0，ab

2ab＝4.abab∴()(a＋b)≥ba

ab4∴＋.baa＋b

abb＝a当且仅当，取等号． a＝b

即a＝b时，不等式等号成立．

k12．解：(1)由题意可设3－x＝t＝0，x＝1代入，得k＝2.t＋1

2∴x＝3－.t＋1

当年生产x万件时，∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，2∴年生产成本为32x＋3＝32(3)＋3.t＋1

当销售x(万件)时，年销售收入为

21150%[32(3－＋3]＋t.2t＋1

由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得

－t2＋98t＋35年利润y＝t≥0)． 2t＋1

－t2＋98t＋35t＋132(2)y＝50－(＋)≤50－ 22t＋1t＋1

t＋13250－216＝42(万元)，2t＋1t＋132，即t＝7时，ymax＝42，2t＋1

∴当促销费定在7万元时，年利润最大．