高等数学极限习题500道汇总_高等数学极限习题

高等数学极限习题500道汇总由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“高等数学极限习题”。

当xx0时，设1＝o()，1o()且limxx0存在， 1求证：limlim．xx0xx01 21若当x0时，(x)(1ax)31与(x)cosx1是等价无穷小，则a1313A．　B．　C．　D．． 2222 答（）当x0时，下述无穷小中最高阶的是A　x2　B1　cosx　C　1x21　D　xsinx 答（）求极限lim(n 求limnln(2n1)ln(2n1)之值． 求极限lim(1)nnsin(n22)．nnn11)ln(1)． 2nlimx0e x21x2的值_____________ 3xsinxan1an2 设有数列a1a，a2b(ba)，an2求证：limynlim(an1an)及liman．nnn 设x1a，x2b．(ba0)xn2记：yn1xn12xnxn1，xnxn1 1，求limyn及limxn．nnxn(12x)sinxcosx求极限lim之值． x0x2 设limu(x)A，A0；且limv(x)Bxx0xx0试证明：limu(x)v(x)AB．xx0 limln(1x)x11(x1)2 A． B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(12x)x0 A．1 B．e2 C．e D．2 答（）设u(x)1xsinf(u)1fu(x)1求：lim及limu(x)之值，并讨论lim的结果．u1x0x0u1u(x)11.f(u)u2x x29lim2的值等于_____________ x3xx6 ex4exlimxx3e2ex 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2x)3(3x)5limx(6x)8 1A.1　B.1　C.5　D.不存在233答：（）(12x)10(13x)20xx33x2lim____________ limx的值等于____________ 求极限lim3 ．xx0eex(16x2)15x1xx2x116x412x求lim之值． x0x(x5)3已知：limu(x)，limu(x)v(x)A0xx0xx0问limv(x)？为什么？xx0 关于极限limx053e1x结论是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）设limf(x)A，limg(x)，则极限式成立的是xx0xx0f(x)0xx0g(x)g(x)B.limxx0f(x)C.limf(x)g(x)A.limxx0 D.limf(x)g(x)xx0 答（）f(x)excosx，问当x时，f(x)是不是无穷大量． limtanxarctanx01x　D. 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)limxx 2 答（）A.0 B. C.1 D.limx2x12x3A.2 B.2 C.2 D.不存在 答（）设f(x) 32e1x，则f(0)___________ limarccotx01x 2 答（）A.0 B. C.不存在.D.limacosx0，则其中ax0ln1xA.0 B.1 C.2 D.3e2xex3xlim的值等于____________ 答（）x01cosx lim2(1cos2x)x0 xA.2 B.2 C.不存在.D.0答：（）px2qx5设f(x)，其中p、q为常数．x5问：(1)p、q各取何值时，limf(x)1；x(2)p、q各取何值时，limf(x)0；x(3)p、q各取何值时，limf(x)1．x5(x2n2)2(x2n2)2(3x22)3求极限lim． 求极限lim． x(xn1)2(xn1)2x(2x33)2 已知limx1x43AB(x1)c(x1)20(x1)2试确定A、B、C之值． ax3bx2cxd已知f(x)，满足(1)limf(x)1，(2)limf(x)0．2xx1 xx2试确定常数a，b，c，d之值．已知limx1(ab)xb3x1x34，试确定a，b之值． 1＂上述说法是否正确？为什么？ (x)＂若lim(x)0，则limxx0xx0 当xx0时，f(x)是无穷大，且limg(x)A，xx0证明：当xx0时，f(x)g(x)也为无穷大．用无穷大定义证明：limx1 2x1． 用无穷大定义证明：limlnx． x1x0用无穷大定义证明：limtanx 用无穷大定义证明：limx20x101． x1 ＂当xx0时，f(x)A是无穷小＂是＂limxxf(x)A＂的：0(A)充分但非必要条件(B)必要但非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件，亦非必要条件 答（）若limxxf(x)0，limg(x)0，但g(x)0．0xx0证明：limf(x)xx)b的充分必要条件是 0g(x limf(x)bg(x)xx0．0g(x)1用数列极限的定义证明：liman0 用数列极限的定义证明：limann，(其中0a1)．n1用数列极限的定义证明：limn(n2)152lim1cos(sinx)2ln(1x)的值等于___________ n2n2． x02(cosx)sinx求极限lim1x0x3之值．(0a1)． 设limf(x)A，试证明：xx0对任意给定的0，必存在正数，使得对适含不等式0x1x0；0x2x0的一切x1、x2，都有f(x2)f(x1)成立。已知：limf(x)A0，试用极限定义证明：limxx0xx0 f(x)A． x2n1x求f(x)lim2n的表达式 xn与ynxnyn是否也必发散？若数列同发散，试问数列 nx1 2nx2n1(其中a、b为常数，0a2)，设f(x)lim(1)求f(x)的表达式；x2n1sinxcos(abx)(2)确定a，b之值，使limf(x)f(1)，limf(x)f(1)．x1x1应用等阶无穷小性质，求极限limx015x13xarctan(1x)arctan(1x)． ． 求极限lim2x0xx2x1n求极限lim(14x)(16x)(1ax)1． 求极限lim(n为自然数)．a0． x0x0xx(52x)x2． x3x3131213求极限lim 设当xx0时，(x)与(x)是等价无穷小，f(x)f(x)(x)a1，limA，xx0(x)xx0g(x)f(x)(x)证明：limA．xx0g(x)且lim 设当xx0时，(x)，(x)是无穷小且(x)(x)0证明：e(x)e(x)~(x)(x)． 若当xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)是比(x)高阶的无穷小．则当xx0时，(x)(x)与1(x)(x)是否也是等价无穷小？为什么？ 设当xx0时，(x)、(x)是无穷小，且(x)(x)0.证明：ln1(x)ln1(x) 与(x)(x)是等价无穷小． 设当xx0时，f(x)是比g(x)高阶的无穷小．证明：当xx0时，f(x)g(x)与g(x)是等价无穷小． 若xx0时，(x)与1(x)是等价无穷小，(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小。试判定：吗？为什么？ (x)(x)与1(x)(x)也是等价无穷小 sinxxx(A)1(B)(C)0(D)不存在但不是无穷大 lim 答（）1limxsin之值xx(A)1(B)0(C)(D)不存在但不是无穷大 答（）已知limx0AtanxB(1cosx)Cln(12x)D(1ex2)1(其中A、B、C、D是非0常数)则它们之间的关系为(A)B2D(B)B2D(C)A2C(C)A2C 答（）xn1设limx0及lima存在，试证明：a1． 设x1计算极限lim(1x)(1x)(1x)(1x)nnnxnn242n21x2x3(a21)xax33x23x2求lim(sincos)计算极限lim(a0)计算极限lim xxax2xxx2a2x2x22exexcosxlim(cosxcosxcosx) 计算极限lim 计算极限limx0xln(1x2)x02222nnan满足an0及lim设有数列nan1r(0r1)，试证明liman0． nannan满足an0且limnanr，设有数列(0r1)，试按极限定义证明：liman0． n设limf(x)A(A0)，试用“”语言证明limxx0xx0f(x)A． 1试问：当x0时，(x)x2sin，是不是无穷小？ x设limf(x)A，limg(x)B，且AB,试证明：必存在x0的某去心邻域，使得xx0xx0在该邻域为f(x)g(x)． ln(13x2)11计算极限lim． 设f(x)xsin，试研究极限lim 23x2x0f(x)arcsin(3x4x4)x 设数列的通项为xn则当n时，xn是(A)无穷大量(B)无穷小量n1(1)nn2，n(C)有界变量，但不是无穷小(D)无界变量，但不是无穷大 　答（）以下极限式正确的是(A)lim(011x)xe(B)xlim(011x)xe1x(C)lim(11)xe1(D)lim(11)xxxxx0 答（）设x110，xn16xn(n1，2，)，求limnxn． eax1设f(x)x，当x0，且limxf(x)Ab，当x00则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，A1(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a，b可取任意实数，Aa(D)a可取任意实数且Aba答：()ln(1ax)设f(x)dx，当x0，且limf(x)A，b，当x0x0则a，b，A之间的关系为(A)a，b可取任意实数，Aa(B)a，b可取任意实数，Ab(C)a可取任意实数且abA(D)a，b可取任意实数，而A仅取Alna答：（1cosax设f(x)x2，当x0，且limf(x)b，当x0x0A则a，b，A间正确的关系是(A)a，b可取任意实数Aa2(B)a，b可取任意实数Aa22(C)a可取任意实数bAa2(D)a可取任意实数bAa22 答（））设有lim(x)a，limf()A，且在x0的某去心邻域xx0ua内复合函数f(x)有意义。试判定limf(x)A是否xx0 成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。x22xb，当x1设f(x)x1　适合limf(x)Ax1a，当x1则以下结果正确的是(A)仅当a4，b3，A4(B)仅当a4，A4，b可取任意实数(C)b3，A4，a可取任意实数(D)a，b，A都可能取任意实数 答（）1bx1　当x0设f(x)　且limf(x)3，则xx0a 当x0(A)b3，a3(B)b6，a3(C)b3，a可取任意实数(D)b6，a可取任意实数 答（）设(x)(1ax)213 ex2ex求lim． 1，(x)eecosx，且当x0时(x)~(x)，试求a值。x3ex4ex2x2axsin设lim()8，则a____________． lim(13x)x____________． xx0xa 当x0时，在下列无穷小中与x2不等价的是(A)1cos2x(B)ln1x2(C)1x21x2(D)exex2 答（）当x0时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是(A)ln(x1x2)(B)1x21(C)tanxsinx(D)eexx2 答（）计算极限limx011x2excosxxxnn122 lim3x5sin4_____________________ x5x32x计算极限limx13n(x1)(x1)(x1)xxn计算极限 lim n1x1(x1)x1x计算极限 lim(cosx0 讨论极限limarctanx)．x11的存在性。研究极限limarccot1的存在性。x0xx1x22x3研究极限lim． xx1 当x0时，下列变量中，为无穷大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx11________________。lnx1n设an0，且liman0，试判定下述结论“存在一正整数N，使当nN时，恒有an1an”是否成立？ 若limanA试讨论liman是否存在？ nn设有数列 an 满足lim(an1an)0，试判定能否由此得出极限liman存在的nn结论。an1an满足an0；设有数列r，0r1，试证明liman0 nan设limxx0f(x)存在，limg(x)存在，则limf(x)是否必存在？xx0xx0g(x)f(x)A0，则是否必有limg(x)0．xx0g(x)若limf(x)0，limxx0xx0 当x0时，下列变量中为无穷小量的是11sinx2x2(B)ln(x1)(A)1(C)lnx(D)(1x)1x 1 答（）设xx0时，f(x)，g(x)A(A是常数），试证明limxx0g(x)0．f(x)若limg(x)0，且在x0的某去心邻域内g(x)0，limxx0xx0f(x)A，g(x)则limf(x)必等于0，为什么？xx0 若limf(x)A，limg(x)不存在，则limf(x)g(x)xx0xx0xx0是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定f(x)g(x)的极限(xx0时)必不存在。nlimeee1n2nn1ne(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(12n12(n1))____．n x0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)为无穷大;(D)不存在，但不是无穷大.答（）设f(x)1sin，试判断：xx(1)f(x)在(0，1)，内是否有界;(2)当x0时，f(x)是否成为无穷大.设f(x)xcosx，试判断：(1)f(x)在0，上是否有界(2)当x时，f(x)是否成为无穷大 设(x)1x，(x)333x，则当x1时（）1x(A)(x)与(x)是同阶无穷小，但不是等价无穷小;(B)(x)与(x)是等价无穷小;(C)(x)是比(x)高阶的无穷小;(D)(x)是比(x)高阶的无穷小.答（）x3ax2x4设limA，则必有x1x1(A)a2，A5;(B)a4，A10;(C)a4，A6;(D)a4，A10.答（）x21当x1时，f(x)ex1(A)等于2;(B)等于0;1x1的极限(C)为;(D)不存在但不是无穷大.答（）设当x0，(x)(1ax)2321和(x)1cosx满足(x)~(x)．试确定a的值。3x22求a，b使lim(axb)1 设lim(3x24x7axb)0 , 试确定a，b之值。xx1x设x11，xn12xn3(n1，2，)，求limxn n设x14，xn12xn3(n1，2，)，求limxn． n计算极限lim(xxxx)计算极限limx0x1xsinxcos2x xtanx计算极限limx04tanx4sinx22cosax研究极限lim(a0)的存在性。x0xetanxesinx2n xn收敛，并求极限limxn．设x1(0，2)，xn12xnxn．(n1，2，)，试证数列设x10，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn． n2 设x12，xn12xnxn(n1，2，)，试研究极限limxn．n2 设a1，b1是两个函数，令an1anbn，bn1liman存在，limbn存在，且limanlimbnnnbnnanbn，(n1，2，)试证明：2 ecosxe计算极限 limxxx计算极限lim 2xx0xnxxx 计算极限lim(1212)x xxxnn若limxnyn0，且xn0，yn0，则能否得出＂limxn0及limyn0至少有一式成立＂的结论。设数列xn，yn都是无界数列，znxnyn，zn是否也必是无界数列。试判定：31计算极限limxsinln(1)sinln(1) xxx 1 如肯定结论请给出证明，如否定结论则需举出反例。极限lim(cosx)xx02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）12 exex极限lim的值为（）x0x(1x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）极限lim1cos3x的值为（）x0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列极限中不正确的是 xtan3x32A．lim；　B．lim；x0sin2xx1x122 x21arctanxC．lim2；D．lim0．x1sin(x1)xx 答（）cos ln(1xx2)ln(1xx2)极限limx0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 极限lim(cosx)x0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）1212 当x0时，与x为等价无穷小量的是A．sin2x；　 B．ln(1x)；C．1x1x； D．x(xsinx)． 答（）当x1时，无穷小量1－x是无穷小量x1的12xA．等价无穷小量；B．同阶但非等价无穷小量； C．高阶无穷小量；D．低阶无穷小量． 答（）当x0时，无穷小量2sinxsin2x与mxn等价，其中m，n为常数，则数组（m，n）中m，n的值为 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1kx)x0xe，则k的值为1A．1；　B．1；　C．；　D．2． 2 答（）1极限lim(1)2的值为x2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e1414x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1)2xe2；　B．lim(1)2xe2；xxxx 11C．lim(1)x2e2；D．lim(1)x1e2．xxxx 答（）1极限lim(12x)xx0A．e；　B．1e；　C．e2；　D．e2． 答（）极限lim(x1x4xx1)的值为（）A．e2；　B．e2；　C．e4；　D．e4． 答（）2x1极限lim2x1x2x1的值是A．1；　B．e；　C．e12；　D．e2． 答（）下列极限中存在的是A．limx2111xx；　B．limx01e1；C．limxsin；　xxx 答（）极限limtanxsinxx0x3的值为A．0；B．1b　C．12　D．． 答（）极限limsinxxxA．1；　B．0；　C．1；　D．． 答（）已知limacosxx0xsinx12，则a的值为A．0；　B．1；　C．2；　D．1． 答（）已知limsinkxx0x(x2)3，则k的值为A．3；　B．32；　C．6；　D．6． 答（）D．lim1x02x1 x21设lim(axb)0，则常数a，b的值所组成的数组(a，b)为xx1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，1)． 答（）4x23设f(x)axb，若limf(x)0，则xx1a，b的值，用数组（a，b）可表示为A．(4，4)；　B．(4，4)；　C．(4，4)；　D．(4，4)答（）极限limx26x8x2x28x12的值为A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列极限计算正确的是A．limx2nxn1x2n1；　B．xlimsinxxsinx1；C．limxsinxx0x30；　D．lim(n112n)ne2． 答（）极限lim(x3x2xx21x1)的值为A．0；　B．1；　C．1；　D．． 答（）数列极限lim(nn2nn)的值为A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim3xcx1x11，则C的值为A．1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2ax6x11x5，则a的值为A．7；　B．7　C．2；　D．2． 答（）ex2，x0设函数f(x)1，x0，则limf(x)x0xcosx，x0A．1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）1cosx，x0设f(x)xx1，则 ，x01e1xA．limx0f(x)0；B．xlim0f(x)xlim0f(x)；C．xlim0f(x)存在，xlim0f(x)不存在； D．xlim0f(x)不存在，xlim0f(x)存在． 答（）tankx设f(x)x，x0，且limx3，x0x0f(x)存在，则k的值为 A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列极限中，不正确的是 1A．lim(x1xx3)4；B．xlim0e0；1C．limsin(x1)x0(12)x0；D．limx1x0． 答（）若limf(x)x0xk0，limg(x)x0xk1c0(k0)． 则当x0，无穷小f(x)与g(x)的关系是A．f(x)为g(x)的高阶无穷小；B．g(x)为f(x)的高阶无穷小；C．f(x)为g(x)的同阶无穷小； D．f(x)与g(x)比较无肯定结论． 答（）当x0时，2sinx(1cosx)与x2比较是（）A．冈阶但不等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）当x0时，sinx(1cosx)是x3的 A．冈阶无穷小，但不是等价无穷小； B．等价无穷小；C．高阶无穷小； D．低阶无穷小． 答（）设有两命题： xn必收敛；命题“a”，若数列xn单调且有下界，则命题“b”，若数列xn、yn、zn满足条件：ynxnzn，且yn，zn都有收敛，则xn必收敛 数列则A．“a”、“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确． 答（）设有两命题： 命题甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，则limf(x)g(x)必不存在；xx0xx0xx0xx0命题乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，则limf(x)g(x)必不存在。xx0xx0则A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）设有两命题： 命题“a”：若limf(x)0，limg(x)存在，且g(x0)0，则limxx0xx0xx0xx0xx0xx0f(x)0；g(x)命题“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。则lim(f(x)g(x))必不存在。则A．“a”，“b”都正确； B．“a”正确，“b”不正确；C．“a”不正确，“b”正确； D．“a”，“b”都不正确。答（）若lim,f(x)，limg(x)0，则limf(x)g(x)xx9xx0xx0A．必为无穷大量;B．必为无穷小量;C．必为非零常数;D．极限值不能确定 ．设有两个数列an，bn，且lim(bnan)0，则 n 答（）anA．，bn必都收敛，且极限相等;anB．，bn必都收敛，但极限未必相等;an收敛，而bn发散;C．an和bn可能都发散，也可能都D．收敛． 答（）下列叙述不正确的是 A．无穷小量与无穷大量的商为无穷小量； B．无穷小量与有界量的积是无穷小量；C．无穷大量与有界量的积是无穷大量；D．无穷大量与无穷大量的积是无穷大量。答（）下列叙述不正确的是 A．无穷大量的倒数是无穷小量；B．无穷小量的倒数是无穷大量；C．无穷小量与有界量的乘积是无穷小量；D．无穷大量与无穷大量的乘积是无穷大量。答（）若limf(x)，limg(x)，则下式中必定成立的是 A．limf(x)g(x);B．limf(x)g(x)0;xx0xx0xx0xx0C．limxx0f(x)c0;D．limkf(x)，(k0)．xx0g(x)答（）设函数f(x)xcos1，则当x时，f(x)是 xA．有界变量； B．无界，但非无穷大量； C．无穷小量； D．无穷大量． 答（）若limf(x)A(A为常数），则当xx0时，函数f(x)A是 xx0A．无穷大量;B．无界，但非无穷大量;C．无穷小量;D．有界，而未必为无穷小量 ． 答（）设函数f(x)xsin1，则当x0时，f(x)为 xA．无界变量;B．无穷大量;C．有界，但非无穷小量;D．无穷小量． 答（）f(x)在点x0处有定义是极限limf(x)存在的 xx0A．必要条件;B．充分条件;C．充分必要条件;D．既非必要又非充分条件． 答（）