高数极限习题及答案_高数极限练习题及答案

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练习题

1.极限

(1)lim1xx3x32x(2)limx5x6x8x15x1x222x3(3)limx1x12x1(4)limx

x10limaxbxx1(5)已知, 求常数a, b.xsin(6)2limx0x1xlimxx21sinx

(7)

12x2

(8)limxx012x

(9)

limln(13x)sinx

x0(10)xlimxe1x

12.函数的连续性

(1)确定b的值, 使函数

2xbyf(x)x1e在x=0点连续.(2)确定a, b的值, 使函数

x0x0

yf(x)lim在整个实数轴上连续.x2n1axx2n2bx

n1(3)讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.① f(x)sixnx x211f(x)x21②

01x0x0

3.连续函数的性质(1)设f(x)x(2)若

nxn1x1, 证明：

f(x)A, f(x)有一个不大于1的正根.f(x)C(,),且limx证明:

f(x)在(,)内有界.提高 1ºf(x)在(,)内至少有一个最值存在.2º 对于最值与A间的任意值C, 存在1,2, 使得

f(1)f(2)C.2.函数的连续性

(1)确定b的值, 使函数

2xbyf(x)x1ex0x0 在x=0点连续.解:f(0)limf(x)blimf(x)ex01x0

(2)确定a, b的值, 使函数

yf(x)lim在整个实数轴上连续.1x1x2axbxx1解:yf(x)1abx121abx12f(1)x2n1axx2n2bx

n1

1ablimf(x)1limf(x)ab x1x121ablimf(x)1lim_f(x)ab x1x12b1f(1)a0,(3)讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.① f(x)sixnx

解: x=0为可去间断点.x211f(x)x21②

0x01x0x0

解:limf(x)1limf(x)1, x=0为跳跃间断点.x0

3.连续函数的性质(1)设f(x)x解: 若n=1, 则显然有解x=1.若n>1, 则f(0)10,nxn1x1, 证明：

证明: f(x)有一个不大于1的正根.f(1)n10, 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2)若f(x)C(,), 且limxf(x)A, f(x)在(,)内有界.解: 由limf(x)A可知: X0, 当xX时, f(x)A1, 故f(x)A1

x由f(x)C(,)可知f(x)C[X1,X1], 故M10,当xX1时, f(x)M1 取Mmax{M1,A1}即可.提高 1ºf(x)在(,)内至少有一个最值存在.2º 对于最值与A间的任意值C, 存在1,2, 使得

f(1)f(2)C.证明: 若f(x)A, 则显然结论成立.设存在f(x0)A, 则存在X>0, 当

f(x0)A2xX时, 有

f(x)A

于是:

f(x)f(x0)A2f(x0)由f(x)C[X,X], 可知存在[X,X]

f()maxf(x):x[X,X]f().f(x0)

从而f(x)在(,)内有最大值对于任意的C, xX1时,ACf(), 存在X1>0, 当

C有

f(x)CA2C于是有

f(X1)1CA2.分别在闭区间[X结论2º.,],[,X1]上使用介值定理即可得