高考数学第一轮复习_分类分步计数原理(例题解析含答案)_分类计数原理练习题

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分类加法计数原理与分步乘法计数原理

基础梳理

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，„„，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有N

2．分步乘法计数原理

完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，„„，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝×mׄ×m种不同的方法．

两个原理

分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决排列组合问题的基础并贯穿始终．分类加法计数原理中，完成一件事的方法属于其中一类并且只属于其中一类，简单的说分类的标准是“不重不漏，一步完成”．而分步乘法计数原理中，各个步骤相互依存，在各个步骤中任取一种方法，即是完成这件事的一种方法，简单的说步与步之间的方法“相互独立，多步完成”．

双基自测

1．(人教A版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有()．

A．238个B．232个C．174个D．168个

解析 可用排除法由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位

3数共有3A3＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．答案 C

2．(2010·广州模拟)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多少个集合()．

A．24个B．36个C．26个D．27个

11111解析 C14C3＋C4C2＋C3C2＝26，故选C.答案 C

3．(2012·滨州调研)甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有()．

A．6种B．12种C．24种D．30种

解析 分步完成．首先甲、乙两人从4门课程中同选1门，有4种方法，其次甲从剩下的3门课程中任选1门，有3种方法，最后乙从剩下的2门课程中任选1门，有2种方法，于是，1甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有4×3×2＝24(种)，故选C.4．(2010·湖南)在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息．若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为()．

A．10B．11C．12D．1

5解析 若4个位置的数字都不同的信息个数为1；若恰有3个位置的数字不同的信息个数为C3若恰有2个位置上的数字不同的信息个数为C2由分类计数原理知满足条件的信息个数4；4，2为1＋C34＋C4＝

11.5．某电子元件是由3个电阻组成的回路，其中有4个焊点A、B、C、D，若某个焊点脱落，整个电路就不通，现在发现电路不通了，那么焊点脱落的可能情况共有________种． 解析 法一 当线路不通时焊点脱落的可能情况共有2×2×2×2－1＝15(种)．

法二 恰有i个焊点脱落的可能情况为Ci4(i＝1,2,3,4)种，由分类计数原理，当电路不通时焊

234点脱落的可能情况共C14＋C4＋C4＋C4＝15(种)．

考向一 分类加法计数原理

【例1】►(2011·全国)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友一本，则不同的赠送方法共有()．

A．4种B．10种C．18种D．20种

[审题视点] 由于是两类不同的书本，故用分类加法计数原理．

解析 赠送一本画册，3本集邮册，共4种方法；赠送2本画册，2本集邮册共C24种方法，由分类计数原理知不同的赠送方法共4＋C24＝10(种)．

【训练1】 如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有________个．

解析 把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．

由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．

考向二 分步乘法计数原理

【例2】►(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个(用数字作答)．

[审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．

解析 法一 用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．

法二 满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有C24＝6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4＋C24＝14(个)．

考向三 涂色问题

【例3】► 如图，用5种不同的颜色给图中A、B、C、D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求有多少种不同的涂色方法？

[审题视点] 根据乘法原理逐块涂色，要注意在不相邻的区域内可使用同一种颜色．

解 法一 如题图分四个步骤来完成涂色这件事：

涂A有5种涂法；涂B有4种方法；涂C有3种方法；涂D有3种方法(还可以使用涂A的颜色)．根据分步计数原理共有5×4×3×3＝180种涂色方法．

法二 由于A、B、C两两相邻，因此三个区域的颜色互不相同，共有A35＝60种涂法；又D与B、C相邻、因此D有3种涂法；由分步计数原理知共有60×3＝180种涂法．

【训练3】 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法种数．

解 法一 可分为两大步进行，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用分步乘法原理即可得出结论．由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S、A、B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．

当S、A、B染好时，不妨设其颜色分别为1、2、3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C染4，则D可染3或5，有2种染法，若C染5，则D可染3或4，有2种染

法．可见，当S、A、B已染好时，C、D还有7种染法，故不同的染色方法有60×7＝420(种)． 法二 以S、A、B、C、D顺序分步染色

第一步，S点染色，有5种方法；

第二步，A点染色，与S在同一条棱上，有4种方法；

第三步，B点染色，与S、A分别在同一条棱上，有3种方法；

第四步，C点染色，也有3种方法，但考虑到D点与S、A、C相邻，需要针对A与C是否同色进行分类，当A与C同色时，D点有3种染色方法；当A与C不同色时，因为C与S、B也不同色，所以C点有2种染色方法，D点也有2种染色方法．由分步乘法、分类加法计数原理得不同的染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(种)．

规范解答20——如何解决涂色问题

【问题研究】 涂色问题是由两个基本原理和排列组合知识的综合运用所产生的一类问题，这类问题是计数原理应用的典型问题，由于涂色本身就是策略的一个运用过程，能较好地考查考生的思维连贯性与敏捷性，加之涂色问题的趣味性，自然成为新课标高考的命题热点.【解决方案】 涂色问题的关键是颜色的数目和在不相邻的区域内是否可以使用同一种颜色，具体操作法和按照颜色的数目进行分类法是解决这类问题的首选方法.【示例】►(本小题满分12分)用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的4个小方格内，每格涂一种颜色，相邻两格涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？

[解答示范] 如图所示，将4，第1个小方格可以从5种颜色中任取一种颜色涂上，有5种不同的涂法．(2分)

2①当第2个、第3个小方格涂不同颜色时，有A4＝12种不同的涂法，第4个小方格有3种

不同的涂法．由分步计数原理可知，有5×12×3＝180种不同的涂法；(6分)

②当第2个、第3个小方格涂相同颜色时，有4种涂法，由于相邻西格不同色，因此，第4个小方格也有4种不同的涂法，由分步计数原理可知．有5×4×4＝80种不同的涂法． 由分类加法计数原理可得，共有180＋80＝260种不同的涂法．(12分)