全面理解共线向量_空间向量的理解

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全面理解共线向量

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．同时我们规定：零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a．平行向量也叫共线向量，共线向量可能有下列情况：（１）有一个为零向量；

（２）两个都为零向量；

（３）方向相同，模相等（相等向量）；

（４）方向相同，模不等；

（５）方向相反，模相等；

（６）方向相反，模不等．

由于向量可以自由平移，任一组平行（共线）向量都可以移到同一条直线上，因此，这里所说的平行（共线）向量从图形上讲包含初中平面几何中的“平行和共线”两层含义．比

如，向量AB与向量CD是共线向量．则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上．这是因为

向量可以平移，共线向量只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB，CD必须在同一条直线上．

例1 已知非零向量a，b，c满足abc0，问表示a，b，c的有向线段能否一定构成三角形？

错解：在平面上任取一点A，作ABa，再以B为起点作BCb，则ACab．

依题意，abc0，所以c(ab)ACCA．

因而abc0时，表示a，b，c的有向线段一定能构成△ABC．

分析：虽然a，b，c均为非零向量，但上述解法只考虑了一般情况，而忽视了a，b共线时的特殊情形．

正解：（1）当a，b不共线时，由错解知△ABC存在．

（2）当a，b共线时，即使abc0成立，但由于A，B，C共线，故△ABC不存在．综上，只有a，b，c不共线且abc0时，表示a，b，c的有向线段才能构成三角形．

21例2 已知e1，e2为不共线的非零向量，如果a4e1e2，be1e2，判断a，b是510

否共线？

21错解：由a4e1e2，be1e2，当e1与e2共线时，a与b才共线，而本题e1，e2为510

不共线的非零向量，故向量a，b不共线．

分析：要研究a，b是否共线，不能从表面来看，而应根据a，b共线的条件来判断，即

·b的形式． 看a能否表示为

21正解：a4e1e2，be1e2，510

1a4e1e24b，a，b为共线向量． 10