全国高中数学联赛一道排列组合题目的解答_高中数学排列组合例题

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问题：18个名额分配给4个班，要求每个班至少1个名额，且任意班名额不同，一共有多少分法？

解答：先用隔板法：C17^3=680，再减去名额相等的情况:

1、(1,1,X,Y),其中x+y=16,即：（x,y）为：（1,15）、（2,14）、（3,13）、（4,12）、（5,11）、（6,10）、（7,9）、（8,8）共有4+6A4^2+C4^2=82；

2、(2,2,X,Y), 其中x+y=14,即：（x,y）为：（1,15）、（2,14）、（3,11）、（4,10）、（5,9）、（6,8）、（7,7）共有4+5A4^2+C4^2=70；

3、(3,3,X,Y), 其中x+y=12,即：（x,y）为：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6,6）共有4+4A4^2+C4^2=58；

4、(4,4,X,Y), 其中x+y=10,即：（x,y）为：（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,6）、（5,5）共有4+3A4^2+C4^2=46；

5、(5,5,X,Y), 其中x+y=8,即：（x,y）为：（1,7）、（2,6）、（3,5）、（4,4）共有4+2A4^2+C4^2=34；

6、(6,6,X,Y), 其中x+y=6,即：（x,y）为：（1,5）、（2, 4）、（3, 3）共有2A4^2+C4^2=30；

7、(7,7,X,Y), 其中x+y=4,即：（x,y）为：（1,3）、（2,2）共有A4^2+C4^2=18；

8、(8,8,X,Y), 其中x+y=2,即：（x,y）为：（1,1）共有C4^2=6；

以上（1，1，8，8）、（2、2、7、7）、（3、3、6、6）、（4、4、5、5）重复∴不同的分配方法种数为680-（82+70+58+46+34+30+18+6-4*6）=680-320=360。