学数学有感_学数学的感受
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数学之美
2006年7月第1期
学数学有感
经济学院 金融学 禄忆思 0511745
从小学到大学,有一门课一直陪伴着我们，那便是数学课。从前，我们和数学相处的时候都是在不停地做题。而今天，上了大学，我想重新再感受一下数学的学习。
无论是高等数学还是初等数学，我们现在在学校里的学习方法都是由浅理解到记忆再到深理解。我们在听老师讲课时就是对新知识进行初步认识和理解。当见到公式和解题方法时，再努力把它们记住。然后通过不断做题和适时总结来积累经验。这样一来，易题熟能生巧，难题一回生，二回熟。就在这个过程中逐渐地、一点一点地理解到知识的精髓。看得出，学习数学与学习语言不同。它是建立在“理解”之上的，而且必须通过自己的做题（实践）体会来理解，着实是个艰苦的过程。值得讨论的是，我们现在的数学考试更多的是在考“记忆运用”。当然，如果你深入理解了某个知识点，则会有“灵感”出现去指导做题。但在学业繁重的今天，这样做会过多地耗费时间和精力。于是，我们就形成了“多经历，多总结”的方法：搞题海战术，搞专题方法总结。目的只有一个——考试。如果再有别的目的，那就是训练大脑的灵活，以及办事时的严谨认真了。当然，数学考试是可以反映一定的数学能力的，也是目前最佳的考核手段。因此，我们必须正视它，学习方法也要以应对它为主。但我们也要明白，数学考试成绩好，数学素质就一定高吗？未必！要想在数学方面有所“建树”，还需要好好地挖掘一下。
数学学科的解题方法也在不断地提升。那些至关重要的、具创造性的经典数学工具着实解决了不少问题。它们使解题思路变得更加清晰。
就从最简单的说起吧。读小学奥数时，老师讲过“和差问题”：两个量一大一小，则大者=（和+差）/2，小者=（和-差）/2。这在道理上似乎说不通，老师也死活讲不清楚。当时只觉得“深奥”和“神奇”了。而自从接触到一个最基本、最重要的数学工具——方程，便恍然大悟：设两个量分别为x和y，解方程组x+y=a，x-y=b即得以上结论。直到大学我还在深刻体会着方程在数学中扮演的角色，它能通过两个量或多个量之间的关系把各个量求解出来，具有“化含蓄为直白”的功用。除方程以外，解析几何也是具划时代意义的一项数学工具。它巧妙地将图象与代数联系起来，并成功地将图形定位在坐标系中。比如它把“直线是无限延长的”与“实数是无穷的”对等起来，天衣无缝。当将特殊图象用坐标表达出来，并归纳为代数方程时，就可以用代数方法来研究解决几何问题了。于是，久证不明的几何问题迎刃而解。精彩的是，一个方程居然可以表达一幅图象，数学之美
2006年7月第1期
还能帮助我们精确地理解它。神奇的是，多元方程的存在还暗示着有我们无法看到的多维空间的存在，这是中学几何所做不到的。
另外，数学是一门“归纳世界”的科学，因此它离不开人们的“发现”、“归纳”、“猜想”和“证明”。比如古人发现圆的半径长度变化时，其面积、周长均变化。究竟其中有何关联？后来祖冲之通过实验计算出圆周率，从而使角的表达与实数等同起来，使计算方便许多。猜想——证明也是一个重要的数学方法，因为数学既需要活跃的头脑又需要严谨的思维。有些证明是直逼最终结论的。比如，求数列xn的极限时可以先猜出极限值是A，然后再用定义去证明：即对任意给定的正数，存在N，当nN时，总有xnA。这里的N随便取一个即可。还有些证明是递推至结论的，如数学归纳法。它的证明过程像多米诺骨牌一样，从前一项推出下一项，从而得证。归纳是感性认识到理性认识迈出的第一步，归纳后的猜想是理智的猜想。例如在求高阶导数时，对于某些函数，我们必须先写出前几阶导数的结果，而后才能用不完全归纳法猜测出通解。
数学解题方法多种多样。对于同样的问题，多种求解的方法可以很不相同。它们虽然得出的结果一样，但中间过程却体现着不同的思维方式：求极限时用“两边夹”的方法体现出区域极限的同一性；用“中值定理”的方法则体现出自变量内部与因变量内部的对应关系；无穷小代换和泰勒展式则以近似代换来求极限，可谓八仙过海，各显神通。求积分时，为去掉积分表达式中所含的根号，可以直接对根式做代换，这体现了数学的化简原则，但也可以通过三角代换间接地脱去根号，同样达到化简的目的。
进入大学，我们接触到高等数学。我感到高等数学比初等数学更抽象、更难理解。但它却更精确、更有力地解释和分析一些问题。加上来的两大项重要知识点则是微分与积分了。微分表现的是一个函数的变化率，比起变化更具重要意义：在物理的速度函数中它表示加速度，在经济学的效用函数中它表示边际效用，即消费者/生产者对交易某商品最后一单位的满足程度，直接决定着接下去的购买与生产。积分则是一个逆过程，其几何意义是求曲边梯形的面积（一元函数）和求曲顶柱体的体积（二元函数）。而这种面积和体积是无法以中学的几何知识求解的。这是微元法应用的典范。因此我们学积分并不应只满足于会正用、逆用公式以及变量代换等这些技巧，更要努力去理解并掌握微元法这种解决问题的方法论。它们将会使我们终生受益。
其实，数学学习的心得体会在做题、听课的每时每刻都有。现在只是挑选一些经常打动我的体会来谈谈，不够深刻但均出自真情实感，对于我也是个总结巩固的机会，也算弥足珍贵了。
数学之美
2006年7月第1期
