x011函数极限.PPT.Convertor_x011函数极限

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第1章

函数极限和连续函数

§ 1-1函数的极限

2定义

或

一.函数在某点的极限

1.描述性定义

32.函数极限的几何意义

4极限不存在的例子

定理：

单侧极限

记为

7例证明极限：

P0

注: 用定义证明函数极限存在时找使不等式成立的δ（与有关）.x a

8“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：

——刘徽

1.几何意义：以直代曲

重要极限

9函数极限存在的夹逼准则

定理.且

例证明重要极限(46)

1二、函数在无穷远的极限

几何解释:

直线 y = A 为曲线P M的水平渐近线

精确化定义：

设函数

大于某一正数时有定义,若

则称常数

时的极限,记作

A 为函数

直线y = A 仍是曲线y = f(x)的渐近线.两种特殊情况 :

当

时, 有

当

时, 有

几何意义 :

例如，都有水平渐近线

都有水平渐近线

又如，15

例.证明

证:

取

因此

注:

就有

故

欲使

即

思考：讨论下列函数当x →∞时的极限。

三.函数在一点的连续性

例

证

例.设f(x)定义在区间

上 ， 若 f(x)在证明:

且对任意实数

证明f(x)对一切 x 都连续.21

单侧连续

定理

例

解

函数f(x)在点x=0处右连续但不左连续 ,23

函数的间断点

1)可去间断点

例

解:

f(1)=1,f(1-0)=2,f(1+0)=2

如上例中,26

例

解

2)第一类间断点（跳跃间断点）

3)第二类间断点

例

解

这种间断点称为无穷间断点.28

例

解

这种间断点称为振荡间断点.29

注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.它在定义域 R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.思考：判断下列间断点的类型:

★

可去型

第一类间断点

跳跃型

第二类间断点

解

因此,x=kπ+π/2(k=0,±1,±2,„)是可去间断点.例．讨论函数y=x/tanx的间断点

解:(1)函数在x=0没有定义

因此，x=0是可去间断点

(k=±1,±2,…)

因此，x=kπ(k=±1,±2,„)是无穷间断点;(k=0,±1,±2,…)

(3)函数在x=kπ+π/2没定义

例确定函数

间断点的类型.解:间断点

为无穷间断点;

故

为跳跃间断点.34