离散数学三、四章检测题及答案_离散数学练习题及答案

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天津理工大学中环信息学院《离散数学》第三、四章检测题

一、填空题（每空2分，共40分）

1．若集合A的基数为n，则AP(A)。n2n

２．设A=｛｛，｛｝｝｝，则A×P(P())=。其中P(A)表示集合A的幂集．{{,{}},,{,{}},{}}

3．设A{{a,{b,c}}}，则P(A)=。其中

P(A)表示集合A的幂集．{,{{a,{b,c}}}}

4．设A={1，2，3}，A上的二元关系R={1,1,1,2,1,3,3,3}，则关系R具有性。反对称，传递。



5．设R是集合A上的二元关系，则S(R)=，t(R)=。RR1；

i1R i

6．设R是集合A上的具有自反性、对称性、反对称性和传递性的二元关系，则



10（IA，R=，R的关系矩阵是。001000或单位矩阵）1

7． 在偏序集A,中，其中A={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是A中的整除关系，则集合B={2,3,4,6}的极大元是 4,6，极小元是2,3，最大元是无，最小元是无，上确界是12，下确界是1。

8．设A{{},},}1{0,B, 所有从A到B的双射函数是f

1{,0,{},1,f2{,1,{},0。

9．设f是A到B的函数，如果对x1,x2A,x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称f为，如果ran(f)B，则称f为 f，则称f为双射。当f为双射时，f

f11是B到A的函数，且ff1f=。（单射，满射；既是单射又是满射； IB； IA）

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．设R1和R2是集合A上的任意两个关系，则下列命题为真的是（）．(1)

(1)．若R1和R2是自反的，则R1R2也是自反的；(2)．若R1和R2是非自反的，则R1R2也是非自反的；(3)．若R1和R2是对称的，则R1R2也是对称的；(4)．若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的．

２．集合A上的关系R为一个偏序关系，当且仅当R具有（）。(2)(1)．自反性、对称性和传递性；(2)．自反性、反对称性和传递性；(3)．反自反性、对称性和传递性；(4)．反自反性、反对称性和传递 ３．集合A上的关系R为一个等价关系，当且仅当R具有（）。(1)(1)．自反性、对称性和传递性；(2)．自反性、反对称性和传递性；

(3)．反自反性、对称性和传递性；(4)．反自反性、反对称性和传递性

４．集合A上的等价关系R，其等价类的集合｛aRaA｝称为（）．(3)

(1)．A与R的并集，记为A∪R；(2)．A与R的交集，记为A∩R；(3)．A与R的商集，记为A／R；(4)．A与R的差集，记为A－R．

５．设集合A{0,1,2,3}，R={，，，}是A上的二元关系，则R的关系矩阵MR是()。（2）

11（1）．00

0100

1001

0100（2）.11

10

0010

1100

00

11（3）.00

11

0011

0101

11

00（4）.01

01

1000

1101

0

110

６．设A{1,2,3,4,5,6},B{a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射(2)。

(1)．R{a,2,b,3,c,4,d,5,e；(2)．R{e,2,d

3,c,4,b,5,a,6,e；

(3)．R{a,2,b,3,c,4,a,5,b,6,c ；(4)．R{a,2,b,3,c,4,d,5,e,b ．

7．设A{a,b,c}，集合A上的等价关系R所确定的A的划分的是{{a},{ b, c }}，则

R=(1)

（1）． {，，}（2）．{，,}

（3）．{，}（4）．{，，,} 8．设Z为整数集，f：ZZ，f(i)i(mod3)，则f是（）．（3）

(1)．是入射不是满射；(2)．是满射不是入射；(3)．既非入射也非满射；(4)．是双射． 9．设f,g,h是集合A上的任意函数，下列哪个命题是真命题（）．（3）

(1)． fggf ；(2)．fff；(3)．f(gh)(fg)h；(4)．fgh．10．设A{1,2,3},B{a,b}，下列二元关系R为A到B的函数的是(1)

(1)．R{a,2,a,3,a ；(2)．R{a,2,b；

(3)．R{a,b,2,a,3,a ；(4)．R{a,1,b,2,a,3,b ．

三、简答题（共30分）

1．（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30}，“／” 为集合A上的整除关系。〈A，／〉是否为偏序集?若是，画出其哈斯图；

解：〈A，／〉是偏序集。其哈斯图为：

2．（12分）对下图所给的偏序集A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。

3．（6分）设 A

={1,2,3,4,5,6}，集合A上的关系

R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。（1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵；（2）求r(R),S(R)及 解：（1）R的关系图为

t(R)。

R的关系矩阵为

M

R

0

00000

000000

10000

1000110

110100

0

00

0（2分）01

（2）r(R)R{1,1,2,2,3,3,5,5，（1分）

S(R)R3,51, ,（31,分）6 }t(R)R1,4 5}2分）,5（4．设Z是整数集，R是Z上的模3同余关系，即R{x,yx,yZ,xy(mod3)}，试根据等价关系R决定Z的一个划分。答案：由R决定的Z的划分为：{

0R,1R,2R}，其中：

0R{,9,6,3,0,3,6,9,}1R{,8,5,2,1,4,7,}

2R{,7,4,1,2,5,8,}

四．证明题（共10分）

１．设a,bR,ab, 定义f:[a,b][0,1]为 f(x)

其逆映射。

证：1）先证明f是入射（2分）

xaba，证明：f是双射，并求出

对任意的x1,x2a,b,若f(x1)f(x2),则有

x1aba



x2aba，从而有

x1x2，故

f是入射。

2)再证明f是满射（2分）

对任意的y0,1,都存在x(ba)yaa,b,使得f(x)y,从而f是满射。

综合（1）、（2）知f是双射。f

1

:[0,1][a,b]为 f

1

(x)(ba)xa，对任意

x0,1。（1分）