高考数学解题方法数形结合_高考数学基本解题方法

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高考数学解题方法（数形结合）

一、知识整合1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x2)2(y1)24

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

k的取值范围。

例1.若关于x的方程x2kx3k0的两根都在1和3之间，求

分析：令f(x)x2kx3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)0 22f(3)0，的解，由yf(x)的图象可知，要使二根都在13，之间，只需f(1)0，f(b)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(1，0)2a

例2.解不等式x2x

解：法

一、常规解法：

x0

原不等式等价于(I)x20x2x2x0或(II)

x20

解(I)，得0x2；解(II)，得2x0

综上可知，原不等式的解集为{x|2x0或0x2}{x|2x2}

法

二、数形结合解法：

令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象

在y2x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xAxxB}

而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，故不等式的解集为{x|2x2}。

例3.已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为（A.1个 B.2个

C.3个

D.1个或2个或3个)

分析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画 出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.如果实数x、y满足(x2)y3，则22y的最大值为(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x2)y3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而yy0则表示圆上的点(x，y)与坐 xx0标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图 可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°3

x2y21，求y3x的最大值与最小值

例5.已知x，y满足1625x2y21下求最值问题，常采用

分析：对于二元函数y3x在限定条件1625构造直线的截距的方法来求之。

令y3xb，则y3xb，x2y21上求一点，使过该点的直线斜率为3，原问题转化为：在椭圆162

5且在y轴上的截距最大或最小，x2y21相切时，有最大截距与最小

由图形知，当直线y3xb与椭圆1625截距。

y3xb

x2169x296bx16b24000 y216251

由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13。x3cos(0)，集合N{(x，y)|yxb}

例6.若集合M(x，y)y3sin且MN≠，则b的取值范围为。

分析：M{(x，y)|x2y29，0y1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为b，由图形易知，欲使MN≠，即是使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为32，即3b32

x2y21上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

例7.点M是椭圆2516MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），则|MF1||MF2|2a，而a5

|MF1|2，∴|MF2|8

又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|11|MF2|×84 2

2②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8.已知复数z满足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。

分析：由于|z22i||z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z(22i)|2的复数z对应点 Z，在以(2，2)为圆心，半径为2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数z对应的 点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值，|z|min2，|z|max32，∴|z|的取值范围为[2，32]

sinx2的值域。

cosx2sinx2得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则ycosx

2例9.求函数yxycosx2y2，y21sinx()2y2

sin

∴sin(x)2y2y12，而|sin(x)|1

4747y 3 ∴|2y2y21|1，解不等式得

∴函数的值域为[4747，] 33yy1sinx2 的形式类似于斜率公式y2cosx2x2x

1解法二（几何法）：y

ysinx2表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx2

由于点P在单位圆x2y21上，如图,显然，kP0AykP0B

设过P0的圆的切线方程为y2k(x2)

则有|2k2|k211，解得k4±73即kP0A4747，kP0B

33∴47474747，] y

∴函数值域为[3333例10.求函数u2t46t的最值。

分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t4m，无法 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x2t4，y6t，则uxy

且x22y216(0x4，0y22)

所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

yxu22

23x4ux2u160 2x2y16

解，得u±26，取u26

∴umax26

三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练

见优化设计。【模拟试题】

一、选择题：

1.方程lgxsinx的实根的个数为（）

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

2.函数ya|x|与yxa的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A.(1，)

B.(1，1)

D.(，1)(1，)

C.(，1][1，)

3.设命题甲：0x3，命题乙：|x1|4，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

4.适合|z1|1且argz

A.0个

4的复数z的个数为（）

C.2个

D.4个 B.1个

5.若不等式xax(a0)的解集为{x|mxn}，且|mn|2a，则a的值为（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知复数z13i，|z2|2，则|z1z2|的最大值为（）

A.10

2B.5

C.210

2D.222

7.若x(1，2)时，不等式(x1)logax恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定义在R上的函数yf(x)在(，2)上为增函数，且函数yf(x2)的图象的对称轴为x0，则（）

A.f(1)f(3)

C.f(1)f(3)

二、填空题：

9.若复数z满足|z|2，则|z1i|的最大值为___________。

210.若f(x)xbxc对任意实数t，都有f(2t)f(2t)，则f(1)、f(3)、B.f(0)f(3)D.f(2)f(3)

f(4)由小到大依次为___________。

11.若关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

12.函数yx22x2x26x13的最小值为___________。

13.若直线yxm与曲线y1x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：

14.若方程lg(x23xm)lg(3x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范围。

15.若不等式4xx2(a1)x的解集为A，且A{x|0x2}，求a的取值范围。

16.设a0且a≠1，试求下述方程有解时k的取值范围。

log((xa)axak)loga222【试题答案】

一、选择题

1.C

提示：画出ysinx，ylgx在同一坐标系中的图象，即可。

2.D

提示：画出ya|x|与yxa的图象

情形1：a0a1 a1

情形2：

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条a0a1

a1件argz，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz，故满足44条件的z有两个。

5.B

提示：画出yxayx的图象，依题意，ma，na，aaaa0或2。

6.C

提示：由|z2|2可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，而|z1z2||z2(z1)||z2(3i)|

表示复数z2与3i对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：

|PO|r(30)2(10)22102

7.C

提示：令y1(x1)2，y2logax，若a>1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，从而

要使y1y2，只需使loga2(21)2，即a2，综上可知

当1a2时，不等式(x1)2logax对x(1，2)恒成立。

若0a1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒不成立。

可见应选C

8.A

提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（，2）上为增函数，可知，f(x)在(2，)上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：

9.22

提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为22。

10.f(1)f(4)f(3)

提示：由f(2t)f(2t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)x2bxc为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f(1)、f(3)、f(4)的大小。

11.m(1，5)

提示：设y1x24|x|5y2m，画出两函数图象示意图，要使方程x24|x|5m有四个不相等实根，只需使1m5

12.最小值为13

2提示：对x2x2(x1)1(x1)2(10)2，联想到两点的距离公

(x3)2(13)2表示点（x，2式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，x6x131）到点（3，3）的距离，于是yx22x2x26x13表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin13。

13.m(2，1]

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而y1x2则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m[1，2)，即m(2，1]。

三、解答题：

x23xm0x23xm03x0

14.解：原方程等价于 0x30x3x24x3mx23xm3x

令y1x24x3，y2m，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0x3，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或3m0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15.解：令y14xx2，y2(a1)x，其中y14xx2表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，y2(a1)x表示过原点的直线系，不等式4xx2(a1)x的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集A{x|0x2}

因此，只需要a11，∴a2

∴a的取值范围为（2，+）。

16.解：将原方程化为：loga(xak)loga

∴xakx2a2，x2a2，且xak0，x2a20

令y1xak，它表示倾角为45°的直线系，y10

令y2（a，0）的等轴双曲线在x2a2，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）x轴上方的部分，y20

∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知

aka或aak0

∴k1或0k1

∴k的取值范围为(，1)(0，1)