我们心中有数感_形容心中有数

我们心中有数感由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“形容心中有数”。

让孩子心中有“数”

——结合新课标谈“数感”

数感因为强调数学的学习是有意义的，因此近年来一直受数学教育学者与认知心理学家的重视。早在八０年代，许多先进国家就呼吁将数感融入正式数学教育的一环。例如：美国数学教师协会（简称NCTM], 1989）、美国教育研究中心（1989）、澳洲数学教育协会（1991），均主张“数感”应是数学学习一个重要的要素，进而将“数感”列为数学课程及教学的主要目标之一。NCTM更在2000年出版的“学校数学之原则与标准”中，强调儿童数感能力的发展。由此可见，注重数学思考与知识内化的数感能力，是数学教育一个很重要的焦点及趋势。在2001版的课标实验稿中，首次明确提出了培养学生数感。而在2011版的“新课标”中，数感仍被列为十大核心概念之首。比较新旧两个版本，对数感的表述发现了一些变化。那么，在新课标背景下，如何去认识“数感”呢，今天我以“W—W—H”为线索与大家进行交流。

一、What——数感是什么？

“数感”一词的英文表述为“Number Sense”，可翻译为多种意思，如感觉、感官、理念、意识、领悟等等。那么，反映在数学课程中的数感基本内涵究竟应该如何理解呢？事实上，在这一点上人们的认识仍然是多元的。

1.一些关于数感内涵的说法。

国内外关于数感大致可以归纳成这样几类： 其一，认为数感是“关于数字（量）的一种直觉”；

其二，认为数感与语感、方向感、美感等类似，都会有一种“直感”的涵义，具有对特定对象的一种敏感性及相关的鉴别（鉴赏）能力；

其三，认为数感是一种主动地、自觉地或自动化地理解数和运用数的态度和意识，是一种基本的数学素养；

其四，认为数感包含感觉、知觉、观念、能力，可以用“知识”来统一指称，这一知识是程序性的、内隐的、非结构性的。

2．”新课标”对数感的表述

课标实验稿首次明确提出了培养学生数感，但未对数感内涵做解释，而是采用外延描述的方式，提出“数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”这段话力图从学习行为改变的视角刻画数感的表现，即理解数的意义，主要表现为五个“能“。但是，一些专家觉得这种表述仍然显得宽泛。例如，“为解决问题而选择适当的算法”，有时数感能起一点作用，但更一般地起主要作用的是对运算、对算法的理解。

后来，重新对数感的内涵及功能作了表述。“新课标”的提法是：“数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。”这一表述由两句话组成。前一句侧重数感的界定，后一句侧重于数感的作用。而这两句话尽可能地给出了学习行为的表现性评价指标。

将数感表述为感悟，不仅使这一概念有了较大的包容性，揭示了这一概念的两重属性：既有“感”，如感知，又有“悟”，如悟性、领悟。“‘感’是外界刺激作用于主体肢体（如感官等）而产生的，它含有原始的、经验性的成分。‘悟’是主体自身的，是通过大脑思维而产生的。“感悟”是既通过肢体又通过大脑，因此，既有感知的成分又有思维的成分。”

“新课标”将这种对数的感悟归纳为三个方面：数与数量、数量关系、运算结果估计，有利于教师在教学中更好地把握数感培养的几条主线。

关于数与数量。（1）小学生的数感是一个后天发展的过程。学龄儿童在日常生活中有意无意的数数活动中，掌握了被告数物体与数年的一一对应，如5个手指与1至5依次匹配，并且知道：数数的顺序不会改变数的结果；数的过程中下一个数比前一个数多一；数数中的最后一个数不但代表这个数，也代表了这组物体的总数（事实上就是序数与基数相等）。这些都是孩子最初的数感。小学数学教学只是在此基础上引导学生逐步扩大数数、认数的范围，相应地逐步丰富、发展学生的数感。是一个离不开实际情境的过程。随着学习年级的增高，学生还会经历更多的对数意义的感悟，如对分数、负数、有理数„„，并形成对数的各种表征方式，比如，今天这节课，学生就要知道1/10与 0.1是同一个数的不同表示。（2）对数与数量建立起来的数感常常与实际情境关联。在现实生活中，没有抽象的数，有的都是数与量的结合体。因此，培养数感，难免牵涉到量。如对单位的认识，提起教室的长度，应该想到米，提到两个城市的距离则应该想到公里（千米），同样，一个小学生会质疑一个宣传牌中所说“7000平方米森林中生活着两只东北虎”是否成立？结合实际情境，学生的数感起到了判断的作用。

关于数量关系。这是培养学生数感的另一个层次。不同年龄段的学生在理解了所学数的意义及表征后，他就具备了理解一定数量关系的基础。比如学生在学习分数概念后，会建立起整体与部分之间关系的感悟，依赖于具体情境或图形，会分辨两个分数的大小，“随着他们数感的增强，学生应该能够用数进行推理。例如‘1/2+3/8’一定小于1，因为每个加数都小于或等于1/2。”。随着年级的升高和数系的扩展，学生对数量关系的感悟会逐步提升，比如对有理数的大小，以至于一些函数所表示的数量关系的感悟。学生对一些相对综合，而显得复杂一点的数量关系的感悟是常常伴随着具体的问题情境而展开的。比如，具有一定数感的学生坐上出租车，他不会对车上的计程器熟视无睹，他会关注跳动的数码，并对数码变动的间隔时间、出租车已行路程、起步价以及每公里价、到达目的地的路程等等数量及相互关系在头脑中作出反应，并形成判断。这里的数感是对具体问题所涉及的数量关系的整体把握。

关于运算结果估计。这是培养学生数感很重要的一个方面。数的运算是数学课程中所占学时较多的内容，过去，这一部分内容的学习我们更多的是关注运算法则的掌握和运算技能的训练，其实通过运算培养学生的估算意识和能力，以此发展学生的数感也应该成为课程教学的目标。所以，”新课标”在课程内容中特别是“数与代数”部分多处提到估计及估算的要求。如，“在生活情境中感受大数的意义并能进行估计”，“能结合具体情境，选择恰当的单位进行简单估算，体会估算在生活中的作用”（一学段）；“在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算”，“会根据给出的有正比例关系的数据在方格子上画图，会根据其中一个量的值估计另一个量的值”（二学段）；“能用有理数估计一个无理数的大致范围”（三学段）。其实，对运算结果的估计涉及的因素很多：对参与运算的数与量意义及关系的理解、对运算方法的选择与判断、对运算方式角度的把握、对具体情境的数量化的处理等等，所以，对运算结果的估计反映的是学生对数学对象更为综合的数感。

二、Where——“数感”存在于哪里？

要回答这个问题，需要从认知心理学说起。认知神经学家塔尼斯拉斯·德阿纳证明，数字和颜色、旋律、感情一样，是一种感性认知。下面是两则小故事

非理性的数字

测试室里，一位40多岁的中年男子坐在24岁的神经科学家斯塔尼斯拉斯·德阿纳(Stanislas Dehaene)对面，右臂缠着绷带，神情沮丧。

德阿纳发问：“2加2等于几?”

中年男子犹豫了一下，艰难地嚅动嘴唇，吐出他的答案：“3。”

3年前，脑出血为该男子的左脑后半部带来了严重损伤，也带来了诸多严重的身体障碍——右胳膊不能动，不能阅读；说话时语速极慢，甚至难以与人交流„„

研究人员把那位男子称作N先生，N先生受伤前是位销售代表，1989年9月的一个早上，当他走进德阿纳的测试室时，已经失去了自主生活的能力。对患者而言，脑损伤事故自然非常不幸，但这种意外也为认知科学研究提供了很多机会。德阿纳发现，脑损伤让N先生成了研究人类数学能力的绝佳入口。

N仍能说出一个数的序列，如2、4、6、8，但不能从9倒数下来；不能区分奇数和偶数：虽然清楚地知道突然出现的数字5是个数字而非字母，却几乎不认识„„直到从l开始数数，他最终才确认那是数字5。

十几年后，已成为数字认知研究权威之一的德阿纳，在书中写下了自己对N先生的看法：“他似乎知道希望表达的数该如何正确开始，但数数对他而言，似乎只是意味着取回那些排列着的词汇。” 在N先生的眼里，大概数字仍是数字，只是它们不再具备准确性，而只是某种近似。这种残存的数字感觉让N先生过着一种“近似值”的生活。在他的世界里。一年大约有350天，1小时有大约50分钟；那个世界中，一年有5个季节，一打鸡蛋有6个或10个。当多次问这个“近似人”2加2等于几时，得到的答案在3到5之间徘徊。但德阿纳注意到，“他从来不会提供很荒谬的9这个结果”。

如果一种损伤击倒了一种能力，却完整地保留了另一种能力，那就证明，两种能力依靠不同的神经回路。通过对N先生的研究，德阿纳认为，我们对数字的粗糙感觉与学习得来的数学能力分别位于大脑中两个完全不同的部位。

数字是一种感性认识

在法兰西学院当实验认知心理学教授的德阿纳是个由数学家“摇身一变”而成的认知心理学家。年轻时，大家都猜测德阿纳会成为一个很棒的数学家。十几岁时，他就开始“钻研”他称之为“激情”的数学。读大学时，他在巴黎高等师范学院修读应用数学，那里是公认的法国数学精英的培训基地。但到18岁时，德阿纳阅读了著名的神经学家(Jean-Pierre Changeux)的著作《神经人》后，他忽然对神经科学产生了兴趣，从此转行。

德阿纳研究人类数字识别的最初几年，正赶上那个领域的飞跃性进展。

在那个领域中，最基本的问题包括：我们的数学能力——对数字的感觉、数学以及数字符号，是如何得到?哪些方面是天生的，哪些是后天学来的，先天与后天之间又是如何重叠和相互影响的? 从上世纪50年代开始，瑞士心理学家让·皮亚杰(Jean Piaget)的观点一直处于统治地位，他认为数字概念和对数字的掌握只在6—7岁时才开始出现，即：我们对数字感觉出现在掌握了一定语言以及对基本计算规则有了一定掌握之后。

但到了1991年，美国心理语言学家卡伦·温(Karen Wynn)惹恼了一个婴儿，嘟着嘴的婴儿似乎告诉我们：我们低估了那些小不点的数字能力。

实验中，温先让婴儿看到一个绒毛玩具，再给他看另一个，最后却只给他一个，婴儿就变得很不高兴——很明显，虽然不会说话，婴儿已经意识到了两个与一个的区别。

事实上，对包括N先生在内的“脑损伤导致的认识不足类”的研究经验同样告诉我们，我们对数字有一种感觉，这种感觉是与语言、记忆、普遍的推理能力相独立的。然而，要证明上述结论，研究者必须指出，这些感觉分别寄居于我们大脑的何处? 受到1987年的一篇关于脑扫描技术论文的启发，德阿纳下决心去了解：我们的每一次计算，动用了脑壳中那团3磅重的胶状物的哪些部分? 获得博士学位后，德阿纳花了两年时间用于研究脑扫描技术。他还设计了些实验，比如：找些人来观看包含16个点的图片，待他们相应的大脑区域趋于稳定后，开始在图片中混入点数不同的图片，以此观察这些被测者不同大脑区域的活动情况。

根据对大量被试者处理数字问题时脑部扫描图像的分析，“扫描鉴赏家”德阿纳找到了数字感觉在我们大脑中所处的区域——顶骨大脑叶中，那里是大脑中与空间和位置有关的区域。而且，数字感觉的寄居位置与数学以及数字符号各不相同——根据德阿纳的研究：数字由视觉区域处理，数字符号则由语言区域处理。

三、How——学生的数感怎样培养？

数感既然是对数的一种感悟，它就不会象知识、技能的习得那样立竿见影，它需要在教学中潜移默化，积累经验，经历一个逐步建立、发展的过程。培养数感可以在数概念教学中进行，可以在口算教学中进行，还可以在解决问题教学中进行，今天主要谈前两个方面。

（一）在数概念教学中培养数感 1．在数一数中培养“数感”

在具体的数学活动中，学生能动脑、动手、动口，多种感官协调活动，加之能相互交流，这对强化感知和思维，积累数感经验非常有益。这里给大家介绍一节“千以内数的认识”。

教师出示了一篇古文，让学生数一数，一共多少字。天地玄黄 宇宙洪荒 日月盈昃 辰宿列张 寒来暑往

秋收冬藏 闰余成岁 律吕调阳 云腾致雨 露结为霜

金生丽水 玉出昆冈 剑号巨阙 珠称夜光 果珍李柰

菜重芥姜 海咸河淡 鳞潜羽翔 龙师火帝 鸟官人皇

始制文字 乃服衣裳 推位让国 有虞陶唐 吊民伐罪

周发殷汤 坐朝问道 垂拱平章 爱育黎首 臣伏戎羌

遐迩一体 率宾归王 鸣凤在竹 白驹食场 化被草木

赖及万方 盖此身发 四大五常 恭惟鞠养 岂敢毁伤

女慕贞洁 男效才良 知过必改 得能莫忘 罔谈彼短

靡恃己长 信使可覆 器欲难量 墨悲丝染 诗赞羔羊

景行维贤 克念作圣 德建名立 形端表正 空谷传声

虚堂习听 祸因恶积 福缘善庆 尺璧非宝 寸阴是竞

资父事君 曰严与敬 孝当竭力 忠则尽命 临深履薄

夙兴温凊 似兰斯馨 如松之盛 川流不息 渊澄取映 容止若思 言辞安定 笃初诚美 慎终宜令 荣业所基

籍甚无竟 学优登仕 摄职从政 存以甘棠 去而益咏

乐殊贵贱 礼别尊卑 上和下睦 夫唱妇随 外受傅训

入奉母仪 诸姑伯叔 犹子比儿 孔怀兄弟 同气连枝

交友投分 切磨箴规 仁慈隐恻 造次弗离 节义廉退

颠沛匪亏 性静情逸 心动神疲 守真志满 逐物意移

坚持雅操 好爵自縻 都邑华夏 东西二京 背邙面洛

浮渭据泾 宫殿盘郁 楼观飞惊 图写禽兽 画彩仙灵

丙舍旁启 甲帐对楹 肆筵设席 鼓瑟吹笙 升阶纳陛

弁转疑星 右通广内 左达承明 既集坟典 亦聚群英

杜稿钟隶 漆书壁经 府罗将相 路侠槐卿 户封八县

家给千兵 高冠陪辇 驱毂振缨 世禄侈富 车驾肥轻

策功茂实 勒碑刻铭 盘溪伊尹 佐时阿衡 奄宅曲阜

微旦孰营 桓公匡合 济弱扶倾 绮回汉惠 说感武丁

俊义密勿 多士实宁 晋楚更霸 赵魏困横 假途灭虢

践土会盟 何遵约法 韩弊烦刑 起翦颇牧 用军最精

宣威沙漠 驰誉丹青 九州禹迹 百郡秦并 岳宗泰岱

禅主云亭 雁门紫塞 鸡田赤诚 昆池碣石 钜野洞庭

旷远绵邈 岩岫杳冥 治本于农 务兹稼穑 俶载南亩

我艺黍稷 税熟贡新 劝赏黜陟 孟轲敦素 史鱼秉直

庶几中庸 劳谦谨敕 聆音察理 鉴貌辨色 贻厥嘉猷

勉其祗植 省躬讥诫 宠增抗极 殆辱近耻 林皋幸即

两疏见机 解组谁逼 索居闲处 沉默寂寥 求古寻论

散虑逍遥 欣奏累遣 戚谢欢招 渠荷的历 园莽抽条

枇杷晚翠 梧桐蚤凋 陈根委翳 落叶飘摇 游鹍独运

凌摩绛霄 耽读玩市 寓目囊箱 易輶攸畏 属耳垣墙

具膳餐饭 适口充肠 饱饫烹宰 饥厌糟糠 亲戚故旧

老少异粮 妾御绩纺 侍巾帷房 纨扇圆洁 银烛炜煌

昼眠夕寐 蓝笋象床 弦歌酒宴 接杯举殇 矫手顿足

悦豫且康 嫡后嗣续 祭祀烝尝 稽颡再拜 悚惧恐惶

笺牒简要 顾答审详 骸垢想浴 执热愿凉 驴骡犊特

骇跃超骧 诛斩贼盗 捕获叛亡 布射僚丸 嵇琴阮箫

恬笔伦纸 钧巧任钓 释纷利俗 并皆佳妙 毛施淑姿

工颦妍笑 年矢每催 曦晖朗曜 璇玑悬斡 晦魄环照

指薪修祜 永绥吉劭 矩步引领 俯仰廊庙 束带矜庄

徘徊瞻眺 孤陋寡闻 愚蒙等诮 谓语助者 焉哉乎也

这里每行5句，每句4个字。学生很快发现一行20字，于是自发地20、40、60„„数起来，数到了100，看到正好成为一段，就又自觉地从一行行数转向一段段数，100、200、300„„数完，学生迫不及待地喊出：“一共1000字。”

原来的千字文是4字一句，老师在这里有意识地把它排成了5句一行，5行一段，诱发了学生从20、20地数到100、100地数。用时不多，过程明了。数完，1000的感觉就自然而然地出来了。紧接着，教师安排了一系列的练习：

（1）找了学习的“学”，从头数，它是第几个？

（2）从头数，第996个字是什么字？第192个字是什么字？

第一小题，学生100、100地数，很轻松地找到了“学”字。第（2）题，第996个字，学生倒着数的。第192个字，多数学生从第二段起，按120、140、160„„数；部分学生从第二段末尾，往回倒着数；还有个别学生说：“200-8=192，从第二段最后一行，去掉后面2句，就找到192个字是“量”字。

2.在“读一读”中培养数感 读数有数的感悟功能吗？请看789读作（）千（）百

（）十

（）；

6789由（）个千，（）个百，（）个十和（）个一组成.789=（）×1000＋（）×100＋（）×10＋（）6分开看，第一题会读的学生都能正确填写，后两题却被认为一题比一题更抽象。现在将三道题放在一起对比，不难发现它们原来这是这么一回事，只要会读数，应该都能正确解答。为什么有的学生却不能正确解答呢？原来，一部分学生在读数时是有口无心，并没有意识到六千就是6个千，也就是6×1000。在理解的基础上读数，知道自己读的是什么，就能读出数感。不仅整数，分数也通读出数感。如2/3读作三分之二，这种分数的读法能读出数的含义读出数感的功能。因此中国的老师在教学分数时，不仅强调单位“1”的等分，还重视分数的书写顺序。先写分数线，表示平均分；再写分母表示有这样的几份；最后写分子，表示有这样的几份。数学老师们之所以敢于颠覆从上往下写的书写顺序，就是为了确保读与写的一致性。更是使得整个书写过程与分数的常见生成过程保持一致。

除了数数，读数，还有基数与序数的教学、区分几个与第几个，教学数序与数的大小比较等等地，都有助于形成数感。

3．在“看模型”中培养数感

根据认知心理学家德阿纳告诉我们：数字由视觉区域处理，那么给学生提供可视的“模型”是培养数感必经之路。小学数学教材中有很多精美的图画，有的图画不是作为美化页面而存在的，也不是为了吸引学生眼球而存在的。它们的存在价值在于，它们是帮助学生形成数感、理解数的核心概念的支撑模型，这些模型有小棒、计数器、计数单位直观模型、数轴、方格图、米制系统、价钱模型、面积模型、体积模型等。这些模型能帮助学生实现“数的抽象意义与数的具体意义的统一”。因此，研究模型在数概念教学中的使用，是培养学生数感的有效方法。比如：都是认识数，教材为什么在不同的年级、不同的课时安排了不同的模型，这些模型在数学教学中具体的作用是什么？如果根据这个问题系统地对各册教材的模型使用价值及使用方法进行梳理，一定能更好地培养学生的数感。

现在，让我们回过头来看覃柳媛老师上的这节《小数的初步的认识》。首先让我们来看有关小数的一些基本知识。

我们现在常用的计数制是十进制，它的重要特征是位值制，即写在不同位置上的数字表示着不同的值。当人们在度量可以分割的量时，常常把作为单位的量细分为它的，，这样就得到一种以10的幂为分母的特殊的分数，这种分数叫十进分数。为了应用上的方便，人们把十进分数改用位值制的记法，这就是小数。在有理数范围内的小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。当分数的分母是10，100，1000，„时，可以用一位小数、两位小数、三位小数等来表示。由十进分数改写的小数都是有限小数，所以所有的有限小数都能改写成分数。

小数概念的引入，通常有两种做法：一是从生活实例出发；二是从表示度量结果的需要出发。这都是小学生能够理解的。

通常认识小数也分为两个阶段：第一阶段是小数的初步认识，特点是：（1）联系生活实际中具体的量来认识小数；（2）以一位小数为主；（3）不定义小数，只描述为：像0.5，1.06，16.85，„这样的数叫做小数。第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是：（1）给出小数的定义：分母是10，100，„的分数，可以用小数表示；（2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位„„的概念；（3）运用小数的计数单位分析小数的组成、小数的性质，比较小数的大小；（4）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。

今天这节课，覃老师注意了以下几个方面： 1.充分运用生活经验，建立小数概念。

虽然小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式。但在生活中最常见到的是小数，如2.45元，30.8米，2.5吨等具体的数量，而不是分数。今天学生认识小数，就是从物品的价格不是整元数出发引入小数，学生在各种鲜活的实例中，感受了小数的现实作用。学生已有的经验能够支持学生理解小数的意义。

2.数形结合，教学小数的知识。

小数的意义是比较抽象的数学概念，小学生掌握这些知识是有一定困难的。如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起来，挖掘和利用概念中的直观成分，能有效地降低教学的难度。如今天的用元表示整数，用角表示元的十分之几、用分表示元的百分之几，这样就可以得到小数。再如：依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系„„这些都有助于学生领会小数的知识。

3.始终把小数的意义作为教学重点。

小数的意义是进一步学习小数的性质、比较小数大小的规划、改写大数的方法的基础。十进分数除了可以写成分母是10，100，1000，„的分数形式外，还可以写成另一种形式，即小数。具体地说，分母是10的分数还可以写成一位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数，两位小数表示百分之几„„教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系，这就是学生需要建立的小数概念。今天覃老师的这节课就是这个地方下了很大的功夫。

4.利用知识迁移，建立小数与分数的联系。

迁移，指一种学习对另一种学习的影响。分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接、显著的影响；小数的意义和整数的大小比较或加减计算对小数的大小比较或加减计算有直接、显著的影响。反过来，后者的学习对前也有促进作用。迁移，有时在听教师讲解的过程中实现。例如，“5分米和4分米分别是几分之几米”是学生已有的知识，只要通过提问，引起学生的回忆和思考，就不难解决。然后不妨直接告诉学生：“ 5分米还可以写成0.5米，4米还可以写成0.4米。”注意：是“还可以写成”，也就是同一对象的两种不同形式，使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到，十分之几和一位小数，百分之几和两位小数„„之间的关系。到了五年级，会出现面积模型——正方形。把正方形平均分成10份，100份，1000份，„，表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型，而现在又拓展到了小数。比如，把一个正方形平均分成10份，100份，其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示。到了那时，学生理解的小数已经不是具体的量了，自然就接受了不带单位的小数。这些做法，无论对小数意义的接受、理解，还是对小数的模型的建立，培养关于小数的数感，都很有帮助。

（二）在心算教学中培养数感

重视心算，加强估算，淡化笔算，提倡算法多样化，鼓励使用计算器。这些都是改革计算教学的重要举措。其中，“淡化笔算”因内涵不明而产生争议。笔算是记录计算过程与结果的书面形式，而记录的形式并非唯一。

淡化传统的笔算方法，取而代之的是培养学生寻找一个数字与其他众多数字关联的意识，以及理解数字关系的能力。教会学生用不同的方法析分数字，更有助于他们理解整个数字结构。例如，24不仅仅表示“2个10与4个1”的总和，也表示“24个1”或者“1个10与14个1”的总和；24也是“4个5与1个4”、“3个7与1个3”等的组合，它还是2、3、4、6、8、12等整数的倍数，等等。

淡化传统的笔算方法，必须转而鼓励学生去探索和开发适合他们自己心智与经验的心算策略，培养学生从数字关系去寻找有效的计算策略，不拘一格地记录各自心算的过程与结果；促进计算策略之间的相互交流与个体反思。

例1 计算：⑴ 25＋26，⑵ 39＋17，⑶ 12＋35，（4）27＋37。第1题根据“已知事实”25＋25＝50，可以迅速推算出结果。第2题可以转化为40＋16。

第3题很可能要用到“拆分”数字的方法，可以找到10＋30＋2＋5的组合。第4题还可能找到25＋25＋2＋12的组合。

上述各题都有可能选择其他的计算策略。根据“数感”选择的计算策略，有的只对本题有效，有的则可以普遍推广。然而，根据数字关系选择计算策略，并不刻意追求策略的普适性，而更关注策略的针对性和有效性。

例2

计算：54÷3。

这道除法不能直接利用乘法口诀求商，计算它的有效策略，或者是把54拆分成与3有关的数字，或者是把除数3进行变换。

算法1：54÷3＝30÷3＋24÷3＝„„ 算法2：54÷3＝27÷3＋27÷3＝„„ 算法3：54÷3＝60÷3－6÷3＝„„ 算法4：54÷3＝27×2÷3＝27÷3×2＝„„ 算法5：54÷3＝54÷（6÷2）＝ 54÷6×2＝„„ 例3

计算：24×16。

算法1：转换成计算20×16＋4×16＝„„ 算法2：用两倍法和两分法来转换。24×16＝48×8＝96×4＝192×2＝„„

算法3：转换成计算25×16－16＝25×4×4－16＝„„

我们看到，找到最有效的计算方法，选择合适的数字拆分方法是至关重要的。朱莉娅•安吉莱瑞著有一本书《如何培养学生的数感》，她认为：“新的评价体系不再具有固定模式的数字运算，而且这些运算也不需要标准的笔算程序。„„ 仅仅教给孩子们相互独立的计算程序已经远远不够，教会他们如何找出数字之间的联系则成为数学教学的当务之急。”

“‘计算能力’的培养不仅需要教孩子们笔算的方法，还要教他们综合应用心算和预测结果的方法，从而得到正确的计算结果。对于如何“选择”合适的计算策略、反思并解释计算的过程和结果而言，口算在其中所起的作用越来越大。”

王永老师曾经请一些朋友帮助在三年级上期末向学生做这样的调查： ⑴你能直接说出54÷3的结果吗？ ⑵说一说你计算的过程。⑶还能想出其他口算的方法吗？

下面是福建省宁德市蕉城区实验小学冯至新老师提供的调查结果（冯老师从两个班随机抽出20名学生，进行逐个访谈式的调查）：

①12人不会口算，占60％；他们中的大多数表示能竖式笔算。②8人会口算，占40％。他们全部是在脑子里再现竖式的的算法。③3人在老师的启发下还想到一种口算方法（3人互不相同），占15％。

在王永老师在后续跟进的调查中，证实上述调查结果不是个别现象，而是具有典型性和普遍性。从这个调查结果是否可以作出这样的结论——在第一学段“数与代数”领域的教学，并没有达到培养数感的目标？这的确值得我们认真反思。有些老师说，我们就没有引导学生探索过17×4、54÷3等的口算策略，尽管“会口算百以内一位数乘、除两位数”是《数学课程标准》的要求。

大家普遍认为“口算和心算的能力”是在学习笔算之前形成的。在学生学习心算之前就开始介绍这种书面计算方法（竖式笔算），会阻碍他们心算策略的发展。老师们在教学中如果重视了心（口）算能力的培养，那么孩子们就能更好把握数字与计算之间的联系，这种联系的建立又恰巧对他们“数感”的形成有重要影响。

在准备这份讲稿的时候，我篡改了《跟着感觉走》的歌词，就让我以此作为今天发言的结束语。这一段歌词如果记下来了，你就会发现，《新课标》对数感的表述你也记下来了——

跟着感觉走 紧抓住悟的手

数与数量变得越来越快活 尽情挥洒数量关系的笑容 数感会在任何地方帮助我跟着感觉走 紧抓住估的手

结果越来越近越来越对头 心情就象风一样自由

突然发现一个完全不同的我。

跟着数感走，让它带着我，梦想的事那里都会有 跟着数感走，让它带着我，希望就在不远处等着我。