二次函数最值问题解析版_二次函数最值问题总结

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【A+级课程】第1讲：二次函数最值问题

1、当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin4，当x2时，ymax5．

2、当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当x1时，ymin1，当x2时，ymax5．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

3、当x0时，求函数yx(2x)的取值范围．

解：作出函数yx(2x)x22x在x0内的图象． 可以看出：当x1时，ymin1，无最大值． 所以，当x0时，函数的取值范围是y1．

4、当txt1时，求函数y125xx的最小值(其中t为常数)． 22分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置． 解：函数y125xx的对称轴为x1．画出其草图． 22125tt； 22(1)当对称轴在所给范围左侧．即t1时： 当xt时，ymin(2)当对称轴在所给范围之间．即t1t10t1时：

125113； 22(3)当对称轴在所给范围右侧．即t11t0时： 当x1时，ymin1

当xt1时，ymin

151(t1)2(t1)t23． 222122t3,t0综上所述：y3,0t1

15t2t,t12

25、为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z（元）会相应降低且Z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益Z与政府补贴款额x之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益w（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值．

分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000（元）；

（2）依题意可设yk1x800，Zk2x200，有400k18001200，200k2200160，解得11k11，k2．所以yx800，Zx200．

55（3）WyZ(x800)11x200(x100)2162000，政府应将每台补贴款额x定为100元，55总收益有最大值，其最大值为162000元．

说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.6、凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y取得最大值时x的值.解：（1）y1100x，y2（2）y(100x)(1001x； 211x)y(x50)211250，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当22x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.