实变函数复习思考题_实变函数复习题答案

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实变函数复习思考题

1.基本概念

（1）补集,可数集合,内点,集合E的内部intE,外点,边界点, 集合E的边界E聚点,集合E的导集E, 集合E的闭包E,孤立点,开集和闭集的概念.（2）集合对等,集合外侧度,可测集,可测函数,处处收敛,几乎处处收敛,近一致收敛和依测度收敛的概念.2.基本定理

（1）Demorgan律.（2）直线上开集的构造定理.（3）叶果洛夫(Eropob)定理.(4)鲁津定理.(5)集合G为开集的几个等价条件.(6)集合F为闭集的几个等价条件.3.基本计算

（1）集列En

n1的上限集limAn和An下限集的计算.nn

（2）计算康托集G0的测度为1.4.基本证明

(1)设x0Rn为一给定点,d(x,x0)指Rn中任意一点x到x0的距离.证明d(x,x0)是Rn上的连续函数.(2)证明康托集P0的外测度为零,从而证明P0是可测集.(3)设SRn.如果对任意的正整数k,存在可测集EkSRn使得mSEk1,证明S是可测集.k

E={xR|f(x)a}(4)设f(x)是R上的实值连续函数，对任意aR，证明：

是开集.(5)设x0Rn且SRn.记PS(x0){xRn:d(x0,x)d(x0,S)}，其中d(x0,S)infd(x0,y).证明:若S为闭集,则PS(x0)为一非空集.yS