历届116希望杯数学竞赛初一及详细答案~~_历届希望杯数学竞赛

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点点文化

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题...........................................................1 希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题...........................................................4 希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题..........................................................11 希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题.........................................................17 希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题.........................................................21 希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题.........................................................25 希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题.........................................................35 希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题.........................................................43 希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题.........................................................51 希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题........................................................57 希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题.........................................................61 希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题.........................................................67 希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题.........................................................77 希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题.........................................................83 希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题.........................................................84 希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题.........................................................91 希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题.........................................................98 希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题.......................................................107 希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................................115 希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题.......................................................123 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题...................................................126 希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题...................................................132 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题...................................................135 希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题...................................................138 希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题...................................................143 希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题...................................................146 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题...................................................150 希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题...................................................153 希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题...................................................158 希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题...................................................161

希望杯第十六届（2005年）初中一年纪第一次试卷

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题

二、填空题（每题1分，共10分）

点点文化

111516(22)4 ______． 1.0.01253(87.5)5716152．198919902－198919892=______．

(21)(221)(241)(281)(2161)3.=________.23214.关于x的方程1xx21的解是_________.485．1－2＋3－4+5－6+7－8+„+4999－5000=______．

24时,代数式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 125722711(ab)(ba0.16)(ab)的值是7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式737246.当x=-______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．

10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．

答案与提示

二、填空题

提示：

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2．19891990－19891989

=(19891990+19891989)³(19891990－19891989)=(19891990+19891989)³1=39783979． 3．由于(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)(2+1)=(2－1)(2+1)=2－1． ***2248

162

481624

162

22(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+„+4999－5000 =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+„+(4999－5000)

=－2500．

6．(3x－5x+6x－1)－(x－2x+x－2)+(－2x+3x+1)=5x+2 32

323

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7．注意到：

当a=－0.2，b=0.04时，a－b=(－0.2)－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0． 2

8．食盐30%的盐水60千克中含盐60³30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60³30%=(0.001x)³40% 解得：x=45000（克）． 分针针夹角为120°即

希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每题1分，共5分）

以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填

点点文化

上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．

1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是()A．a%． B．(1+a)%． C.a1a D.100a100a2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时()A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 3.已知数x=100,则()A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数． C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．

4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则大小关系是()

111，的abbac

A.111111111111;B.

二、填空题（每题1分，共5分）

1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．

2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），点点文化

则m的数值是______．

3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．

4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．

5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．

三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）

1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？

2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=

11S1=S2,求S． 33

11153.求方程的正整数解.xyz6

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答案与提示

一、选择题

1．D 2．C 3．C 4．C 5．D 提示：

1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是

前年比去年少

这个产值差占去年的应选D．

2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：

再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是乙杯中减少的蓝墨水的数量是∵①=②∴选C．

① ②

∴x－25=(10+5)可知应当选C．

n+2

2点点文化

4．由所给出的数轴表示（如图3）： 可以看出

∴①＜②＜③，∴选C．

5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1²2²3²5 ∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数． 由下面的表

可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．

二、填空题

提示：

1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy 及x*m=x(m≠0)得a²0+bm-c²0²m=0，点点文化

∴bm=0． ∵m≠0，∴b=0． ∴等式改为x*y=ax-cxy． ∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．

∴题设的等式即x*y=5x-xy．

在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开

4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式 6x+mxy-4y-x+17y-15 中划波浪线的三项应当这样分解： 3x-5 2x +3 现在要考虑y，只须先改写作

然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：

由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x+5xy-4y-x+17y-15就是原六项式，所以m=5． 5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．

另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成 3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)=9b

(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)=9b+12b+4 222

22222

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=(9b2+12b+3)+1 被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．

三、解答题

1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．

甲、乙分手后，乙继续前行的路程是

这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4²8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60²8+480)=1920（公里）． 2．由题设可得

即2S-5S3=8„„②

∴x，y，z都＞1，点点文化

因此，当1＜x≤y≤z时，解

(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．

由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．

希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题

一、选择题（每题1分，共15分）

以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．

1．数1是()

D．最小有理数． A．最小整数． B．最小正数．C．最小自然数．

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2．若a＞b，则()A.11;B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． abD．a＞b．

223．a为有理数，则一定成立的关系式是()A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．图中表示阴影部分面积的代数式是()A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd． 5．以下的运算的结果中，最大的一个数是()

1;246811C.(-13579)³;D.(-13579)÷

24682468A．(-13579)+0.2468;B.(-13579)+6．3.1416³7.5944+3.1416³(-5.5944)的值是()A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 7.如果四个数的和的1是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是()4A．16． B．15． C．14． D．13．

11且小于-的是()3411436 A.-;B.-;C.-;D.-.2013161739.方程甲:(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是()48.下列分数中,大于-A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以C.甲方程的两边都乘以10．如图: O是原点,则

4x;343;D.甲方程的两边都乘以.34，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中111，的大小关系是()abc111111111111 A.;B.>>;C.>>;D.>>.abcbcabaccabx511.方程的根是()22.23.7

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A．27． B．28． C．29． D．30． 12.当x=

4x2y1,y=-2时,代数式的值是()

xy2A．-6． B．-2． C．2． D．6．

13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是()A．225． 14.不等式1B．0.15．C．0.0001．

D．1．

xxxxx的解集是()248161A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x>-.1615．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是()

(mpnq)pq(mpnq)%;D.(mpnq)%%;B.%.A.;C.pq2mn

二、填空题（每题1分，共15分）

1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)³(-1)÷(-1)=______．

1=_______.6(63)363． 计算：=__________.1622． 计算：-3÷6³24． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:111111=_________.2612203042n6．n为正整数，1990-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．

7.计算：8.计算：1919191919=_______.91919191911[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.5

点点文化

19.在(-2),(-3),25551,中,最大的那个数是________.3510．不超过(-1.7)2的最大整数是______． 11.解方程2x110x12x11,x_____.312435535511311312.求值:=_________.35511313．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______． 14.一个数的相反数的负倒数是

1,则这个数是_______.1915．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数abcdef之和都相等,则=____.abcdef答案与提示

一、选择题

1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示：

1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．

有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有2＜(-3)，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．

3．若a=0，7³0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．

4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．

22点点文化

5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

6．3.1416³7.5944+3.1416³(-5.5944)=3.1416(7.5944-5.5944)=2³3.1416 =6.2832．选B．

为32．第四个数数=32-(-6+11+12)=15．选B．

新方程x-4=4x与原方程同解．选C．

13．-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)³(-15)=0.15．选B．

15．设混合溶液浓度为x，则m³p%+n³q%=(m+n)x．

二、填空题 提示：

1．(-1)+(-1)-(-1)³(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．

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4．(-1991)-|3-|-31||=-1991-28=-2019．

6．1990n的末四位数字应为1991+8009的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小值为4．

(-1993)]=-1991．

10．(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2．

去分母得

4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1．

点点文化

13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，92，个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是质数．

b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0．

希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题

二、填空题（每题1分，共10分）

1． 绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______．

mm9002132112． 单项式xyz与3xy2z717是同类项,则m=________.4190091=_________.1990199121990198919901991114． 现在弟弟的年龄是哥哥年龄的,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的,则哥哥现在253． 化简:

点点文化的年趟龄是_____.5． 某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都乘车．则只需0.5小时．若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时．

6． 四个连续正整数的倒数之和是2

219,则这四个正整数两两乘积之和等于______． 20.7．1.2345+0.7655+2.469³0.7655=______．

8.在计算一个正整数乘以3.57的运算时,某同学误将3.57错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的乘积是_______.9．某班学生人数不超过50人．元旦上午全班学生的.21去参加歌咏比赛, 全班学生的94去玩乒乓球,而其余学生都去看电影,则看电影的学生有________人.10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶．那么该河水流的速度是每小时______公里．

三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求清晰、工整）

1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名运动员中至少要选出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差9？请说明你的理由．

2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果，此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理由．

二、填空题 提示：

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1．绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15，-14，14，15，其乘积为(-14)(-15)(14)(15)=44100．

3．令n=19901990，n-1=19901989，19901991=n+1．

则分母199019912-19901989³19901991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)．

5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则

6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1，∴a=2不合题设条件．

和为3³4+3³5+3³6+4³5+4³6+5³6=119．

7．令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469³0.7655，1.23452+0.76552+2.469³

点点文化

0.7655=(x+y)2=(1.2345+0.7655)2=22=4

9．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数小于50，可见全班总计36人，看电影的同学为36-8-9=19．

10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时

解得x=3．即该河水速每小时3公里．

三、解答题

1．若选出54个人，他们的号码是1，2，„，8，9，19，20，„，26，27，37，38„，44，45，55，56，„，62，63，73，74，„，80，81，91，92„，98，99．的时候，任两个人号码数之差均不等于9．

可见，所选的人数必≥55才有可能．

我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9．

被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6³9+1，所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的．但由1—100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个数中一定有两个是“大小相邻”的，它们的差等于9．

点点文化

所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9． 2．由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1-x2|不超过x1，x2中最大的数．对x1≥0，x2≥0，x3≥0，则||x1-x2|-x3|不超过x1，x2，x3中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x1，x2，„，x1991，相当于计算：||„||x1-x2|-x3|„„-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991．

另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数．

|x1-x2|与x1+x2奇偶性相同．因此P与x1+x2+„+x1991的奇偶性相同．

但x1+x2+„+x1991=1+2+„1991=偶数．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0．

|||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，„均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输入最后显示结果为0．而后||1989-1990|-1991|=1990．

所以P的最大值为1990．

希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题

一、选择题（每题1分，共10分）

1.有理数-1a一定不是()A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．0．

2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是()A.121321xy与-3x2z;B.3.22m2n3与nm;C.0.2a2b与0.2ab2;D.11abc与ab.31119923．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于()A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．两个10次多项式的和是()A．20次多项式．B．10次多项式．C．100次多项式．D．不高于10次的多项式． 5．若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是()A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则()A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a．

7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是()

点点文化

A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到()A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b．

9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c()A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等．

10．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出的五个有理数的平均值是()A.5;B.811;C.12;D.13.32二、填空题（每题1分，共10分）

1． 2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2．(2)5(8)(12)=_________________.(3)4(***.[(1)(1)(1)(1)]=_________________.124.若P=a+3ab+b，Q=a-3ab+b，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是______．

19905.1992-{1991-1992[1991-1990(1991-1992)]}=_______________.22222233a2b36.六个单项式15a,xy,ab,0.11m,-abc,-的数字系数之和等于342_____________.7．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等于______．

8．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麦．

9.满足2x2x1的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于______． 23 10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：

并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则

答案与提示

一、选择题

xyz=__________.xyz1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D 提示：

点点文化

故选D．

2．依同类项的定义，选B． 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)=x-1-1+x+x+1=3x-1，选C．

1010224．多项式x+x与-x+x之和为x+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，选D．

5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序应是a＜-1＜1＜-a，选A．

6．易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，选B．

7．因为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．ab+a＜0，ab-b＜0．所以应有(a-b)(ab+a)＞0成立，选A．

=2a+5b-2a+2b=7b，选D．

9．因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A． 10．前三个数之和=15³3，后两个数之和=10³2．

所以五个有理数的平均数为

二、填空题

提示：

1．前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29．

点点文化

4．因为P-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q)=P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q)以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入，2222原式=2(P-Q)=2[(a+3ab+b)-(a-3ab+b)] =2(6ab)=12ab．

6．六个单项式的系数依次为：

7．小华写四个有理数之和为

分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8．所以，这四个有理数的乘积=3³(-12)³6³8=-1728．

8．设需要x公斤小麦，根据题意，得

解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麦．

点点文化

去分母，得3(2+x)≥2(2x-1)去括号，得6+3x≥4x-2 移项，得3x-4x≥-2-6 合并同类项-x≥-8 于是x≤8．

其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30． 10．容易断定与x相邻的两个数分别为9与2，即

因为9+x+2=5，则x=-6，依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5，分别确定出每个格子中所填之数如下：

断定y=-6，z=9．所以

希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题

一、选择题（每题1分，共10分）

1．若8.047=521.077119823，则0.8047等于()A．0.521077119823．B．52.1077119823．C．571077.119823．D．0.00521077119823． 2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是()A．正数． B．负数．C．奇数． D．偶数．

3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是()A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a＞b＞-a＞-b． 4．在1992个自然数：1，2，3，„，1991，1992的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数和一定是()A．奇数． B．偶数．C．负整数．

33D．非负整数．

点点文化

5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有理数的平均数是

()A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5．

6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是()A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不确定的．

x1992yp7.已知p为偶数,q为奇数,方程组的解是整数,那么()

1993x3yqA.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数． C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数． 8．若x-y=2，x2+y2=4，则x1992+y1992的值是()A．4． B．19922．C．21992． D．41992．

9．如果x，y只能取0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到()不同的值．

A．1个． B．2个．C．3个．

D．多于3个的．

10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中所示的规律写出1992应是图16中的()

二、填空题（每题1分，共10分）1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且

a1b1c1d1e1,,,,,则b2c3d4e5f6f=_____.a

点点文化

2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______．

3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______． 4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0,则a199

2b,b, 的形式,a+b1993=________.5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的去,第二天吃掉的核桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的____个.2,又扔掉4个到大海中55,那么这堆核桃至少剩下86．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______． 7．a，b，c是三个不同的自然数，两两互质．已知它们任意两个之和都能被第三个整除．则a3+b3+c3=______．

8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a2+b2+c2-ab-bc-ca=______． 9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填到图17中10个格子里，每个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字之和都等于p．则p的最大值是______．

10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：

那么，购买每种教具各一件共需______元．

三、解答题（每题5分，共10分）

1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰

点点文化

是一个能被11整除的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程．

2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．

(1)请你举例说明：“希望数”一定存在．

(2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数．

答案与提示

一、选择题

1．A 2．B 3．A 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D 提示：

所以将8.047=512.077119823的小数点向前移三位得0.512077119823，即为0.8047的值，选A．

2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a＜-a，∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0，因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B．

3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所示．所以-b＞a＞-a＞b，选A．

4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也是正确的．因此，1，2，3„，1991，1992，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与(-1)+2-3+4-5+6-7+8-„-1991+1992=996的奇偶性相同，是偶数，所以选B．

5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m³1991．当m混入以后，那1992个数之和为m³1991+m,其平均数是1992，∴m=1992，选C．

33点点文化

6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．

所以a+b＞b+c，成立，选B． 7．由方程组

以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数． 由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B． 8．由x-y=2 ① 平方得x-2xy+y=4 又已知x2+y2=4 ③

所以x，y中至少有一个为0，但x+y=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况，都有

x199

22222②

+y1992=01992+(±2)1992=21992，选C．

9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得

由于x，y取0—9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x必取奇数1，3，5，7，9．

三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，点点文化

34和57，选C．

二、填空题

提示：

与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于 666-662=(666+662)(666-662)=1328³4=5312．

3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有

(x-y)+(4xy-2xy)-2(xy-y)=x+y+2xy-2xy=(x+y)-2(xy-xy)=1000-2(-496)=1992．

4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，3322

222

点点文化

下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a1992+b1993=(-1)1992+(1)

1993

=1+1=2．

5．设这堆核桃共x个．依题意

我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即

目标是求m的最小正整数值．

可知，必须20|x即x=20，40，60，80，„„

m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．

由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3，即9≤a＜12．

可被第三个整除，应有b|a+c．

∴b≥2，但b|2，只能是b=2．

点点文化

于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36． 8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca

9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p，其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y．

要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86．

所以p取最大整数值应为28．

事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立． 所以p的最大值是28．

10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元． 则依题意列得关系式如下：

③³2-④式得

x1+x2+x3+x4+x5=2³1992-2984=1000．

点点文化

所以购买每种教具各一件共需1000元．

三、解答题

1．解①（逻辑推理解）

我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是987654321．但这个数不是11倍的数，所以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数．

设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y． 则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判别法知 x-y=0，11，22，33或44．

但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33． 于是有

但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6．所以（Ⅱ）的解不合题意，应该排除，由此只能取x=28，y=17．

987654321的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。为此调整最后四位数码，排成987652413即为所求．

解②（观察计算法）

987654321被11除余5．因此，987654316是被11整除而最接近987654321的九位数．但987654316并不是由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我们由987654316开始，每次减去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的九位数为止．其过程是

987654316→987654305→987654294→987654283 →987654272→987654261→987654250→987654239 →987654228→987654217→987654206→987654195

点点文化

→987654184→„„→987652435→987652424 →987652413．

这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位数987652413，为所求，其最大性是显见的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途径，有一位参赛学生用到了此法，所以我们整理出来供大家参考．

2．(1)答：由于428571=3³142857，所以428571是一个“希望数”．

说明：一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力，并能举例说明被定义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例．

如：3105=3³1035，所以3105是个“希望数”； 或：7425=3³2475，所以7425是个“希望数”； 或：857142=3³285714，所以857142是个“希望数”； 以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如： 37124568=3³12374856 43721586=3³14573862 692307=3³230769 461538=3³153846 705213=3³235071 8579142=3³2859714 594712368=3³198237456 37421568=3³12473856 341172=3³113724．

可见37124568，43721586，592307，461538，705213，8579142，594712368，37421568，341172都是希望数，事实上用3105是希望数，可知31053105也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无穷多个“希望数”．因此，“希望数”有无穷多个．

点点文化

(2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．

由a=3p和a为3的倍数．

因此a被9整除．

于是a是27的倍数．

这样就证明了，“希望数”一定能被27整除． 现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2为正整数）． 所以ab=(27n1)(27n2)=(27³27)(n1³n2)=729n1n2．

所以ab一定是729的倍数．

希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题

一、选择题:（每题1分，共15分）

1．若a是有理数,则m12345一定不是()aaaaaA．正整数． B．负整数．C．负分数． D．零． 2.1993-{1993-[1993-(1992-1993)]}的值等于()A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993．

点点文化

3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于()A．(a-b)． B．b-a．C．a-b． D．-(a-b)． 4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+22

222

1=0,则必有()b3n2n12n11 A.a+=0;B.a2n+bbn2n2n111=0;C.a+=0;D.a2n+1+bb=0.5.如果有理数a,b满足11=0,则下列说法中不正确的一个是()abA． a与b的和是0． B．a与b的差是正数． C．a与b的积是负数． D．a除以b，得到的商是-1． 6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-3-5,-1,0.1,-0.001,-8,-12

3,-15,乙的6张卡片上分别写有41a,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的 比2b的值等于()A．1250． B．0．C．0.1． D．800．

7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是

()

D．(a-1993)+0.001是正数．

2A．-a是负数． B．a是正数．C．-|a|是负数．

***01900 的值等于()***09300191 A.-3;B.-;C.-1;.D.-.3138.-9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是()A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0． 10.若a=3.142.141.143.122.12,b=,c=(1.12),则a,b,c的大小3.132.131.13D．c＞b＞a． 关系是()A．a＞b＞c． B．a＞c＞b．C．b＞c＞a．

11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，则 A.()11;B.-a丨b丨;D.a2>b4.ab12．M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值为()A．-28．

B．70．C．42． D．0．

点点文化

13.有理数111，8恰是下列三个方程的根: 252x110x12x11,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3),3124xz112z(z1)(z1),则的值为()yx223A.-***;B.-;C.;D..80554022014．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于()A．126． B．127．C．128．

D．129．

15．在自然数：1，2，3，4，5，„中，前15个质数之和的负倒数等于()A.-1111;B.-;C.-;D.-.328329337340

二、填空题（每题1分，共15分）

1．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______．

2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______． 3.(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)=_________.(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终点站外前面各站共下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客共有______．

5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______．

6．在多项式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则m²n=______．

7．若a，b，c，d为整数，(a+b)(c+d)=1993，则a+b+c+d=______．

211118.方程x11111993的根是x=____________.2222

点点文化

9.(-1)÷199393=______.93191910．甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时出发，相向而行，经过1.5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行12公里，则慢车每小时行______公里．

b211．在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时,y=3,则=______.k12.满足不等式2x2x1的所有非负整数的乘积等于_______.2313.有理数a,b,c,d使abcdabcd

=-1,则

aabbccdd的最大值是_______.14．△ABC是等边三角形，表示其边长的代数式均已在x2y2图23中标出,则22x2y271=_________.4015．有人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生______人．

答案与提示

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 1 4．B 15．A 提示：

若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．

点点文化

= =1993-1992+[1993-(-1)]=1+1994=1995，选C． 3．因a＜b所以a-b＜0，此时|a-b|=b-a．

所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，选D．的是B．

7．当a=0，显然A，B，C，均不正确，应排除，所以选D．事确上，对任意有理数a，都有(a-1993)≥0，所以(a-1993)+0.001＞0是正数．

229．b=1＞0，a=2＞0，ab=2³1=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b排除D，因此选择C．

10．容易看出a，b，c均为负数，我们看|a|，点点文化

11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b． ∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，选C． 12．M=(a+b)2，N=a+b2．

M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a．

14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21，第3行1+2+1=4=2，第4行1+3+3+1=8=2，第5行1+4+6+4+1=16=24，第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=2．

图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127，选B．

二、填空题

23点点文化

提示：

1．在-a与a之间的整数为2n+1个．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997． 2．相邻的两个正整数设为n与n+1，则由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500． 相邻的两个正整数的积为499³500=249500．

4．设第1站到第7站上车的乘客依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下车的乘客依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8显然应有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8．

已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80．

表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人． 5．原式=52+72+92+112=276．

6．若1993uv与uv为同类项．只能m=0且n=0．与已知条件不合，所以只能3xy与-4xn-1y2m-4为同类项．于是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30．

7．由于1993是质数，a2+b2，c2+d2是1993的约数，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，c+d=1，所以a+b+c+d=1+1993=1994． 222222mn3m2n

mn

点点文化

所有非负整数解的积=0．

14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形边长为14+6=20． 由3y+2=20，解得y=6，所以

15．设这个班共有学生x人．在操场踢足球的学生共a人，依条件，x，a都是自然数，且1≤a＜6．

根据题意列方程如下：合并同类项，移项得因为a，x均为自然数，(3，28)=1所以3|a．

但a只能取1，2，3，4，5这五个数，所以a=3．因此x=28．

点点文化

答：这个班共有28名学生．

希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题

一、1.选择题:（每题1分，共10分）

1111的值是()0.10.010.0010.0001A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是()A．285． B．286．C．287．

2D．288．

23．a，b都是有理数，代数式a+b，a-b，(a-b)，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值为正的共有()A．3个． B．4个．C．5个．

D．6个．

4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是()111a(ac)A.;B.(ca);C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).bbc

5．1993+9319的末位数字是()A．2． B．4． C．6． D．8．

6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第19933天之后的那一天是 A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．

7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的和是

()()A．148． B．247．C．93． D．122．

点点文化

8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 A．0． B．-32．C．33． D．-33．

9．x是正数，表示不超过x的质数的个数，如=3．即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么++³³>的值是()A．12． B．11．C．10． D．9．

10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为()A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．

二、填空题（每题1分，共10分）

1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在-()1与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________.1993.42．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)=______．

3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个面上的数的和等于______．

7777777771111111111234567894．计算:

999999911111111234567 =__________.5.abcde是一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且a＜b＜c＜d，则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．

点点文化

6．连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是______．

7．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．

1993199228.计算:=________.22199319911993199329．若a，b，c，d为非负整数．且(a+b)(c+d)=1993．则a+b+c+d=______． 10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的蘑菇,则丁采蘑菇______ 个.三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）1． 如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．

2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到，请举一例，如果找不到，请说明理由．

答案与提示

一、选择题

1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C 提示：

=10-100-1000-10000=-11090．选C．

2．在-109.2与-11.9之间最小整数是-109，最大整数是-12．共计包含(-12)-(-109)+1=98个整数．在10.5与199.5之间包含最小整数是11，最大整数是199．共计包含199-11+1=189个整数．因此墨水共盖住98+189=287个整数．选C．

43,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了3个52点点文化

3．当a=b=0时，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值为0，而当a=-1，b=1时a3b+1=0．因此对任意有理数a，b其值为正的只有ab+1，a+b+0.1，2a+3b+1，共3个选A．

ac(1-bc)＜0，所以选A． 5．19=19934³23+

122

4，93=93194³4+

3所以1993与191的末位数相同是9、9319与933末位数字相同是7．因此1993+9310末位数字是9+7=16的末位数字6，选C．

6．19933=(284³7+5)3=(284³7)3+3³(287³7)2³5+3(287³7)³52+125．

所以19933被7除的余数与125被7除的余数相同，125=7³7+6．所以19933被7除余数为6．从4月18日星期日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰是星期六，再往后数6天，19933天是星期五．而19933天之后的那一天应是星期六，选B．

7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、C均应排除．由除数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272这些值，计算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正的最小值与最大值的和是148．选A．

8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，7，„91，94，97共计33个．在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95，-92，-89，„-8，-5，-2．共33个其总和为-33．选D．

9．为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个．为不超过93的质数，共24个，易知=0．所以++³³>=+>===11，选B．

10．解①大矩形面积为ab，两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc．重叠部分面积为c2，所以未涂阴影部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，选C．

解②将阴影部分等积变形如图29，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c)

2点点文化

均未改变．易见，未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C．

二、填空题

提示：

1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2³1993+1=3987个整数，3987=1=5982．

3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3．两个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15．因此，看不见的七个面上所写数的和等于

(-6)-15=-21．

点点文化

5．若a＜b＜c＜d≤e时

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值为8．

若a＜b＜c＜d，且d＞e时．

|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．

6．设这连续的1993个自然数为

x-996，x-995，„，x-1，x，x+1，x+2，„，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x≥997．这1993个连续自然数之和设为σ．

则σ=1993x，要求σ为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993．此时，1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当σ为完全平方数时，1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是2989．

7．设六个人的成绩依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6．则65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．

∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481．

要使x3最小，必须x1，x2尽可能大，x4，x5尽可能接近x3，所以当x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2时，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481．

3x3=481-100-99+3=285．x3=95． 答：第三名的得分至少是95分．

9．因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993（参

点点文化

见第一试填空第7题解答）．为确定起见；，不妨设a2+b2=1，c2+d2=1993．

(1)a+b=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993．

若c≤31，d≤31，则c2+d2≤2³312=2³961=1922＜1993．所以c，d中至少有一个大于31．又由于442=1936＜1993，故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．

我们依次取c=44，43，42，41，„，33，32试算如下： 2

2其中1933-c2的结果中，只有144=122为完全平方数，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55．

所以a+b+c+d=1+55=66．

一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有

23.5„≤x≤31.5„

点点文化

因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取．

因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇．

此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇．

舍五入，约为38是个十位数是3的两位数．

三、解答题

1．如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z 化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y． 因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．

以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593³422=250246．

2．答：找不到满足条件的三个整数理由如下：

如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立． 因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数． 不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数． 同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数．b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数．

因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾． 故不存在三个整数a，b，c满足关系式(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388．