山西大学研究生入学考试试题_山西大学研究生

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2010年山西大学研究生入学考试

高等代数

一、（15分）设明:mfx、gxx为有理数域上的两个多项式，m为一个正整数.证mfx|gx当且仅当

fx|gx.1a111111an其中ai

二、（15分）计算行列式：Dn111a20,1in.a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn

2三、（15分）证明：线性方程组有解得充要条件是方程

am1x1am2x2amnxnb1组的系数矩阵与增广矩阵具有相同的秩.005

四、（15分）已知实数域上的3阶方阵A292，求一个实可逆矩阵T使得

126T1AT成为对角矩阵，其中T表示矩阵T的逆矩阵.五、（15分）试求取什么值的时候，下列二次型5x1x2x34x1x22x1x22x2x3是正定二次型.六、（15分）设A、B分别为数域K上的mn,nm矩阵，En为m阶单位矩阵.2221ABEn,mn.证明:B的列向量可以扩充成K上n维列向量空间Kn的一组基.七、（15分）设V1,V2为有限维向量空间V的两个线性子空间，V1V2,V1V2分别是它们的和空间与交空间，dimV1,dimV2,dimV1V2,dimV1V2分别为V1,V2,V1V2,V1V2的维数，证明：dimV1dimV2dimV1V2dimV1V2.八、（15分）把3维单位向量1n11,1,1扩充为3维欧式空间3的标准正交基.3九、（15分）记X为实数域上n维标准欧式空间，A为实数上的一个n阶方阵，V|X,AT0,WA|X,其中AT表示矩阵A的转置.证明:XVW.十、（15分）设A为实数域上的一个n阶方阵，满足AAAA,其中A表示矩阵A的转置矩阵.1.设为A的一个特征值,证明:也是A的特征值.2.证明:如果A的所有特征值都是实数,则A是一个对称矩阵.TTTT