学年天津市河西区高二(上)期末数学试卷(理科)_天津市高二上期末数学

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2015-2016学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理科）

一、选择题：共8题，每小题3分，共24分． 1．（3分）命题“若p则q”的逆命题是（）

A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q 2．（3分）已知向量A．﹣5 B．﹣4 C．2

D．1

2，则等于（）

3．（3分）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q 4．（3分）已知椭圆C：

C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，则C的方程为（）+

=1，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4A．+=1 B．

+y=1 C．

2+=1 D．5．（3分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A． B． C．

D．

=（）

6．（3分）已知双曲线C：为（）A．y= B．y=

C．y=±x

（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程

D．y=

7．（3分）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8．（3分）O为坐标原点，F为抛物线C：y=4x的焦点，P为C上一点，若|PF|=4则△POF的面积为（）

A．2 B．2 C．2 D．4

二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．

9．（4分）命题“∀x∈[0，+∞），x+x≥0”的否定是 ．

2210．（4分）如果x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 ． 11．（4分）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量等于 ．

12．（4分）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为 ．

第1页（共18页）

32，与的夹角

13．（4分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=2px（p＞0），2的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为则p= ．

14．（4分）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共52分． 15．（8分）已知（1）若（2）若

16．（8分）求经过点（﹣5，2），焦点为的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程．的双曲线的标准方程，并求出该双曲线，求实数k的值，求实数k的值．

．

第2页（共18页）

17．（8分）已知p：函数y=x+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q：函数y=4x+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围．

18．（8分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1．

2第3页（共18页）

19．（10分）设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x上，l是AB的垂直平分线．（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围．

20．（10分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭

2圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

第4页（共18页）

2015-2016学年天津市河西区高二（上）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：共8题，每小题3分，共24分． 1．（3分）（2012•重庆）命题“若p则q”的逆命题是（）A．若q则p B．若￢p则￢q C．若￢q则￢p D．若p则￢q 【考点】四种命题． 【专题】简易逻辑．

【分析】将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，从而可得 【解答】解：将原命题的条件与结论互换，可得逆命题，则命题“若p则q”的逆命题是若q则p． 故选A．

【点评】本题考查了命题与逆命题的相互关系的应用，属于基础题．

2．（3分）（2015秋•河西区期末）已知向量等于（）

A．﹣5 B．﹣4 C．2 D．1 【考点】空间向量的数量积运算．

【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用．

【分析】根据空间向量数量积的坐标运算，进行计算即可．，则【解答】解：∵向量∴，=﹣1×2+1×0+（﹣1）×（﹣3）=1．

故选：D．

【点评】本题考查了空间向量数量积的坐标运算问题，是基础题目．

3．（3分）（2015秋•河西区期末）已知命题p：∃x∈R，使得x+＜2，命题q：∀x∈R，x+x+1＞0，下列命题为真的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∧（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假． 【专题】简易逻辑． 2【分析】本题的关键是判定命题p：∃x∈R，使得的真假，在利用复合命题的真假判定． 【解答】解：对于命题p：∃x∈R，使得当x＜0时，命题p成立，命题p为真

第5页（共18页），命题，命题显然，命题q为真

∴根据复合命题的真假判定，p∧q为真，（￢p）∧q为假，p∧（￢q）为假，（￢p）∧（￢q）为假 【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．

4．（3分）（2014•广西）已知椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4，则C的方程为（）

A．+=1 B．+y=1 C．

2+=1 D．+=1 【考点】椭圆的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】利用△AF1B的周长为4可得出椭圆的方程．，求出a=，根据离心率为，可得c=1，求出b，即【解答】解：∵△AF1B的周长为4，∵△AF1B的周长=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=2a+2a=4a，∴4a=4，∴a=，∵离心率为∴∴b=，c=1，=，∴椭圆C的方程为+=1．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

5．（3分）（2015秋•河西区期末）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A． B． C．

=（）

D．

【考点】空间向量的加减法．

第6页（共18页）

【专题】数形结合；定义法；空间向量及应用．

【分析】根据题意，画出图形，结合图形，利用空间向量的加法运算即可得出结论． 【解答】解：如图所示，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，=（+）+

=

+

=

．

故选：D．

【点评】本题考查了空间向量加法运算的几何意义问题，是基础题目．

6．（3分）（2013•新课标Ⅰ）已知双曲线C：则C的渐近线方程为（）A．y= B．y=

C．y=±x

（a＞0，b＞0）的离心率为，D．y=

【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由离心率和abc的关系可得b=4a，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．

22【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b=a，x，22故渐近线方程为y=±x=故选：D．

【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．

7．（3分）（2013•山东）给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定． 【专题】简易逻辑．

第7页（共18页）

【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是¬p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案． 【解答】解：∵¬p是q的必要而不充分条件，∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，则p是¬q的充分不必要条件． 故选A．

【点评】本题考查的知识点是充要条件的判断，其中将已知利用互为逆否命题真假性相同，转化为q是¬p的充分不必要条件，是解答的关键．

8．（3分）（2013•新课标Ⅰ）O为坐标原点，F为抛物线C：y=4若|PF|=4，则△POF的面积为（）A．2 B．2 C．2 D．4 【考点】抛物线的简单性质．

【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

2x的焦点，P为C上一点，【分析】根据抛物线方程，算出焦点F坐标为（）．设P（m，n），由抛物线的定义结合|PF|=4，算出m=3，从而得到n=，得到△POF的边OF上的高等于2，最后根据三角形面积公式即可算出△POF的面积． 【解答】解：∵抛物线C的方程为y=4∴2p=4，可得=，得焦点F（2x）

设P（m，n）

根据抛物线的定义，得|PF|=m+=4即m+=4，解得m=3

2∵点P在抛物线C上，得n=4∴n== ∵|OF|=，×3=24 ∴△POF的面积为S=|OF|×|n|=故选：C

=2

2【点评】本题给出抛物线C：y=4x上与焦点F的距离为4的点P，求△POF的面积．着重考查了三角形的面积公式、抛物线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

第8页（共18页）

二、填空题：共6小题，每题4分，共24分．

9．（4分）（2015秋•河西区期末）命题“∀x∈[0，+∞），x+x≥0”的否定是 ∃x∈[0，+3∞），x+x＜0 ．

【考点】命题的否定．

【专题】对应思想；定义法；简易逻辑．

【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解即可． 【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，3即∃x∈[0，+∞），x+x＜0，3故答案为：∃x∈[0，+∞），x+x＜0 【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．

10．（4分）（2010•大港区校级模拟）如果x+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是 0＜k＜1 ． 【考点】椭圆的标准方程． 【专题】计算题．

322【分析】根据题意，x+ky=2化为标准形式为2

2；由椭圆的标准方程，要使其表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2；计算可得答案． 【解答】解：根据题意，x+ky=2化为标准形式为

22；

根据题意，其表示焦点在y轴上的椭圆，则有＞2；

解可得0＜k＜1； 故答案为0＜k＜1． 【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆与双曲线的标准方程都可以由二元二次方程表示，但要区分两者形式的不同；其次注意焦点位置不同时，参数a、b大小的不同．

11．（4分）（2015秋•河西区期末）已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角等于

．

【考点】数量积表示两个向量的夹角． 【专题】计算题．

【分析】利用两个向量数量积公式求出

=6cosθ，故有3= 6cosθ，解出cosθ 的值，再由0≤θ≤π，可得 θ 的值． 【解答】解：=（2，﹣2，4）﹣（2，﹣5，1）=（0，3，3），=3，再由两个向量的数量积的定义求出=（1，﹣4，1）﹣（2，﹣5，1）=（﹣1，1，0），第9页（共18页）

∴再由|则有 =（0，3，3）（﹣1，1，0）=0+3+0=3． •|=3，|=||=，设向量|cosθ=

3•与的夹角θ，|•| cosθ=6cosθ．

故有3=6cosθ，∴cosθ=． 再由 0≤θ≤π，可得 θ=故答案为 ．

．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量数量积公式的应用，根据三角函数的值求角，属于基础题．

12．（4分）（2015•泸州模拟）直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为

．

【考点】异面直线及其所成的角． 【专题】空间角．

【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．

【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，MN∴MN，OB，OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=MB==，AN=，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO==故答案为：=． ．

第10页（共18页）

【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

13．（4分）（2014•岳阳二模）已知双曲线

2（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p= 2 ． 【考点】双曲线的简单性质．

【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】求出双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程与抛物线y=2px（p＞0）的，列

2准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为出方程，由此方程求出p的值． 【解答】解：∵双曲线

（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y=±x 又抛物线y=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±又由双曲线的离心率为2，所以A，B两点的纵坐标分别是y=±又△AOB的面积为∴××=，则=±，2，x轴是角AOB的角平分线，得p=2．

故答案为：2．

【点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．

第11页（共18页）

14．（4分）（2016春•江岸区期末）已知p：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）＜0；q：＜x＜，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是

．

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑．

【分析】求出p的等价条件，利用必要不充分条件的定义建立不等式关系进行求解即可． 【解答】解：p的等价条件是m﹣1＜x＜m+1，若p是q的必要不充分条件，则，即，即≤m≤，故答案为：．

【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据充分条件和必要条件建立不等式关系是解决本题的关键．比较基础．

三、解答题：本大题共6小题，共52分． 15．（8分）（2015秋•河西区期末）已知（1）若（2）若，求实数k的值，求实数k的值．

．

【考点】空间向量的数量积运算．

【专题】方程思想；转化法；空间向量及应用． 【分析】（1）根据空间向量的坐标运算以及向量的共线定理，列出方程求出k的值；（2）根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出k的值． 【解答】解：（1）∵∴又∴解得（2）∵且∴，第12页（共18页），；，；，即7（k﹣2）﹣4（5k+3）﹣16（5﹣k）=0，解得．

【点评】本题考查了空间向量的坐标运算与数量积运算的应用问题，是基础题目．

16．（8分）（2015秋•河西区期末）求经过点（﹣5，2），焦点为方程，并求出该双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，渐近线方程． 【考点】双曲线的简单性质．

【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．的双曲线的标准【分析】设双曲线的标准方程为：，由焦点在x轴上，且，再由点（﹣5，2）代入双曲线方程，求解即可得到双曲线的方程，则a=线的实轴长和虚轴长、离心率、渐近线方程． 【解答】解：设双曲线的标准方程为：，b=1，e=，即可得到双曲由题意可知，解得：．

∴双曲线的标准方程为．

则a=，b=1，c=，e=．，渐近线方程为y=±

x． ∴双曲线的实轴长为2，虚轴长为2，离心率为【点评】本题考查双曲线的方程的求法，考查双曲线的基本性质，属于中档题．

17．（8分）（2015秋•河西区期末）已知p：函数y=x+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，q：2函数y=4x+4（m﹣2）x+1大于0恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求m的取值范围． 【考点】命题的真假判断与应用． 【专题】计算题；探究型． 【分析】本题是一个由命题的真假得出参数所满足的条件，通过解方程或不等式求参数范围的题，宜先对两个命题p，q进行转化得出其为真时参数的取值范围，再由p∨q为真，p∧q为假的关系求出参数的取值范围，在命题p中，用二次函数的性质进行转化，在命题q中，用二次函数的性质转化．

2第13页（共18页）

【解答】解：若函数y=x+mx+1在（﹣1，+∞）上单调递增，则﹣≤﹣1，∴m≥2，即p：m≥2 „（3分）若函数y=4x+4（m﹣2）x+1大于0恒成立，则△=16（m﹣2）﹣16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3 „（6分）∵p∨q为真，p∧q为假，∴p、q一真一假 „（7分）当p真q假时，由

得m≥3 „（9分）

222当p 假q真时，由得1＜m＜2 „（11分）

综上，m的取值范围是{m|m≥3或1＜m＜2} „（12分）

【点评】本题考查命题的真假判断与应用，解题关键是理解p∨q为真，p∧q为假，得出两命题是一真一假，再分两类讨论求出参数的值，本题考查了转化化归的思想及分类讨论的思想

18．（8分）（2014•武鸣县校级模拟）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=3，BC=4，AA1=4，AB=5，点D是AB的中点．（1）求证：AC⊥BC1；

（2）求证：AC1∥平面CDB1．

【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系． 【专题】计算题；证明题．

【分析】（1）利用ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，证明CC1⊥AC，利用AB=AC+BC，说明AC⊥CB，证明AC⊥平面C1CB1B，推出AC⊥BC1．

（2）设CB1∩BC1=E，说明E为C1B的中点，说明AC1∥DE，然后证明AC1∥平面CDB1． 【解答】解：（1）∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴CC1⊥AC„（2分）∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB=AC+BC，∴AC⊥CB „（4分）又C1C∩CB=C，∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1„（7分）

（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点„（10分）

第14页（共18页）

222

222

又D为AB中点，∴AC1∥DE„（12分）DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1„（14分）

【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．

19．（10分）（2005•陕西）设A（x1，y1）．B（x2，y2）两点在抛物线y=2x上，l是AB的垂直平分线．

（1）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（2）当直线l的斜率为2时，求l在y轴上截距的取值范围． 【考点】抛物线的应用；直线的斜率；恒过定点的直线． 【专题】计算题；压轴题． 【分析】（Ⅰ）先把抛物线方程整理成标准方程，进而求得抛物线的焦点坐标．先看直线l

2的斜率不存在时，显然x1+x2=0；看直线斜率存在时设斜率为k，截距为b，进而用A，B的坐标表示出线段AB的中点代入设的直线方程，及用A，B的坐标表示出直线的斜率，联立方程可分别求得x1+x2和x1+x2的表达式进而求得b的范围，判断即l的斜率存在时，不可能经过焦点F．最后综合可得结论．

（II）设直线l的方程为：y=2x+b，进而可得过直线AB的方程，代入抛物线方程，根据判别式大于0求得m的范围，进而根据AB的中点的坐标及b和m的关系求得b的范围． 【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线y=2x，即x=，∴p=，∴焦点为F（0，）

（1）直线l的斜率不存在时，显然有x1+x2=0（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b

2即直线l：y=kx+b由已知得：

⇒⇒

⇒x1+x2=﹣+b≥0⇒b≥．

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F（0，）所以当且仅当x1+x2=0时，直线l经过抛物线的焦点F（II）解：设直线l的方程为：y=2x+b′，故有过AB的直线的方程为y=﹣x+m，代入抛物线方程有2x+x﹣m=0，得x1+x2=﹣．

222

第15页（共18页）

由A、B是抛物线上不同的两点，于是上述方程的判别式△=+8m＞0，也就是：m＞﹣．

由直线AB的中点为（则，+m＞）=（﹣，﹣

=

+m），． +m=﹣+b′，于是：b′=即得l在y轴上的截距的取值范围是（，+∞）．

【点评】本题主要考查了抛物线的应用．在解决直线与圆锥曲线的问题时，要注意讨论直线斜率是否存在的问题．

20．（10分）（2014•新课标I）已知点A（0，﹣2），椭圆E：

+

=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程． 【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质． 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）通过离心率得到a、c关系，通过A求出a，即可求E的方程；

（Ⅱ）设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入，利用△＞0，求出k的范围，利用弦长公式求出|PQ|，然后求出△OPQ的面积表达式，利用换元法以及基本不等式求出最值，然后求解直线方程． 【解答】解：（Ⅰ）设F（c，0），由条件知所以a=2，b=a﹣c=1，故E的方程222，得又，．„．（6分）

（Ⅱ）依题意当l⊥x轴不合题意，故设直线l：y=kx﹣2，设P（x1，y1），Q（x2，y2）将y=kx﹣2代入2，得（1+4k）x﹣16kx+12=0，22当△=16（4k﹣3）＞0，即时，从而

又点O到直线PQ的距离，所以△OPQ的面积=，第16页（共18页）

设，则t＞0，当且仅当t=2，k=±等号成立，且满足△＞0，x﹣2或y=﹣

x﹣2．„（12分）所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为：y=【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．

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参与本试卷答题和审题的老师有：邢新丽；742048；Math何；刘长柏；szjzl；minqi5；ywg2058；maths；danbo7801；caoqz；zlzhan；sxs123；xintrl；qi；zhwsd（排名不分先后）菁优网

2016年12月6日

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