初中数学因式分解(含答案)竞赛题1_因式分解竞赛题带答案
初中数学因式分解(含答案)竞赛题1由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“因式分解竞赛题带答案”。
初中数学因式分解(一)
因式分解是代数式恒等变形的基本形式，是解决数学问题的有力工具．是掌握因式分解对于培养学生解题技能，思维能力，有独特作用．
1．运用公式法
整式乘法公式，反向使用，即为因式分解
(1)a-b=(a+b)(a-b)；
(2)a±2ab+b=(a±b)；
(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；
(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．
几个常用的公式：
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；
(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；
(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．
分解因式，根据多项式字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2x
(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；(4)a-ab+ab-b．
2752
575n-1nnnn-1n-2n-32
n-2
n-1nnn-1n-2n-32
n-2
n-1nnn-1n-2n-32
n-2
n-133322
2222
23322332222222y+4x3n-1n+2y-2xy；(2)x-8y-z-6xyz； n-1n+4333
333例2 分解因式：a+b+c-3abc．
例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．
1514132
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x-9x+8．
例5 分解因式：
(1)x+x+x-3；(2)(m-1)(n-1)+4mn；
(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；(4)ab-ab+a+b+1．
422
322963223
3．换元法
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．
例7 分解因式：(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．
例8 分解因式：(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．
22222
例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．
例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2
+y2)．
1．分解因式：
(2)x10+x5-2；
(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．
练习一
2．分解因式：
(1)x+3x-4；
(2)x-11xy+y；
(3)x+9x+26x+24；
(4)x-12x+323．
3．分解因式：
(1)(2x-3x+1)-22x+33x-1；(2)x+7x+14x+7x+1；
(3)(x+y)+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x-1)(x+5)-20． 3
2222
232432422
2初中数学因式分解(一)答案
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．
1．运用公式法
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
(1)a-b=(a+b)(a-b)；
(2)a±2ab+b=(a±b)；
(3)a+b=(a+b)(a-ab+b)；
(4)a-b=(a-b)(a+ab+b)．
下面再补充几个常用的公式：
(5)a+b+c+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)；
(6)a+b+c-3abc=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)；
(7)a-b=(a-b)(a+ab+ab+…+ab+b)其中n为正整数；
(8)a-b=(a+b)(a-ab+ab-…+ab-b)，其中n为偶数；
(9)a+b=(a+b)(a-ab+ab-…-ab+b)，其中n为奇数．
运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确恰当地选择公式．
例1 分解因式：
(1)-2xy+4x3335n-1n3n-1nnn-1n-
2n-
32n-2
n-1nnn-1n-2
n-3
n-2
n-1nnn-1n-2
n-3
n-2
n-1333
2222
23322332222222y-2xy； n+2n-1n+
4(2)x-8y-z-6xyz；
(3)a+b+c-2bc+2ca-2ab；
(4)a-ab+ab-b．
解(1)原式=-2xy(xn-2xny+y)
=-2xy[(xn)-2xny+(y)]
=-2xy(xn-y)
=-2xy(x-y)(x+y)．
(2)原式=x+(-2y)+(-z)-3x(-2y)(-Z)
=(x-2y-z)(x+4y+z+2xy+xz-2yz)．
(3)原式=(a-2ab+b)+(-2bc+2ca)+c
＝(a-b)+2c(a-b)+c
=(a-b+c)．
本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：
原式=a+(-b)+c+2(-b)c+2ca+2a(-b)22222
222
2333n-1nn
n
2n-1n2
22n-1n2
22n-1n4
4752257222
=(a-b+c)
(4)原式=(a-ab)+(ab-b)
=a(a-b)+b(a-b)
=(a-b)(a+b)
=(a+b)(a-b)(a+b)(a-ab+ab-ab+b)
=(a+b)(a-b)(a-ab+ab-ab+b)
例2 分解因式：a+b+c-3abc．
本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6)．
分析我们已经知道公式
(a+b)=a+3ab+3ab+b的正确性，现将此公式变形为
a+b=(a+b)-3ab(a+b)．
这个式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导．
333
324
4225552252
27522
572
解原式=(a+b)-3ab(a+b)+c-3abc
=［(a+b)3+c］-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)［(a+b)-c(a+b)+c]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a+b+c-ab-bc-ca)．
说明公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将公式(6)变形为
a+b+c-3abc 33322
显然，当a+b+c=0时，则a+b+c=3abc；当a+b+c＞0时，则a+b+c-3abc≥0，即a+b+c≥3abc，而且，当且仅当a=b=c时，等号成立．
如果令x=a≥0，y=b≥0，z=c≥0，则有 33
等号成立的充要条件是x=y=z．这也是一个常用的结论．
例3 分解因式：x+x+x+…+x+x+1．
分析这个多项式的特点是：有16项，从最高次项x开始，x的次数顺次递减至0，由此想到应用公式a-b来分解．
解因为
x-1=(x-1)(x+x+x+…x+x+1)，所以 16151413
2nn
151514
说明在本题的分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，这一技巧在等式变形中很常用．
2．拆项、添项法
因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．
例4 分解因式：x-9x+8．
分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将常数项8拆成-1+9．
原式=x-9x-1+9
=(x-1)-9x+9
=(x-1)(x+x+1)-9(x-1)
=(x-1)(x+x-8)．
解法2 将一次项-9x拆成-x-8x．
原式=x-x-8x+8
=(x-x)+(-8x+8)
=x(x+1)(x-1)-8(x-1)
=(x-1)(x+x-8)．
解法3 将三次项x拆成9x-8x．
原式=9x-8x-9x+8
=(9x-9x)+(-8x+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x+x+1)
=(x-1)(x+x-8)．
解法4 添加两项-x+x．
原式=x-9x+8
=x-x+x-9x+8
=x(x-1)+(x-8)(x-1)
=(x-1)(x+x-8)．
说明由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 22322322
223333
33323322333
例5 分解因式：
(1)x+x+x-3；
(2)(m-1)(n-1)+4mn；
(3)(x+1)+(x-1)+(x-1)；
(4)ab-ab+a+b+1．
解(1)将-3拆成-1-1-1．
原式=x+x+x-1-1-1
=(x-1)+(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x+x+1)+(x-1)(x+1)+(x-1)
=(x-1)(x6+2x3+3)
=(x-1)(x+x+1)(x+2x+3)．
(2)将4mn拆成2mn+2mn．
原式=(m-1)(n-1)+2mn+2mn
=mn-m-n+1+2mn+2mn
=(mn+2mn+1)-(m-2mn+n)
=(mn+1)-(m-n)
=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．
(3)将(x-1)拆成2(x-1)-(x-1)．
原式=(x+1)+2(x-1)-(x-1)+(x-1)
=［(x+1)+2(x+1)(x-1)+(x-1)]-(x-1)
=［(x+1)+(x-1)]-(x-1)
=(2x+2)-(x-1)=(3x+1)(x+3)．
(4)添加两项+ab-ab．
原式=ab-ab+a+b+1+ab-ab
=(ab-ab)+(a-ab)+(ab+b+1)
=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b+1)
=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b+1)
=[a(a-b)+1](ab+b+1)
=(a-ab+1)(b+ab+1)．
说明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使我们体会到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验．
3．换元法 222
2332
233222222
2222
242
2422
4222
222222
222222226
33363
39639633322422
422963
换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰．
例6 分解因式：(x+x+1)(x+x+2)-12．
分析将原式展开，是关于x的四次多项式，分解因式较困难．我们不妨将x+x看作一个整体，并用字母y来替代，于是原题转化为关于y的二次三项式的因式分解问题了．
解设x+x=y，则
原式=(y+1)(y+2)-12=y+3y-10
=(y-2)(y+5)=(x+x-2)(x+x+5)
=(x-1)(x+2)(x+x+5)．
说明本题也可将x+x+1看作一个整体，比如今x+x+1=u，一样可以得到同样的结果，有兴趣的同学不妨试一试．
例7 分解因式：
(x+3x+2)(4x+8x+3)-90．
分析先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合．
解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90
=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90
=(2x+5x+3)(2x+5x+2)-90．
令y=2x+5x+2，则
原式=y(y+1)-90=y+y-90
=(y+10)(y-9)
=(2x+5x+12)(2x+5x-7)
=(2x+5x+12)(2x+7)(x-1)．
说明对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y)的基础．
例8 分解因式：
(x+4x+8)2+3x(x+4x+8)+2x．
解设x+4x+8=y，则
原式=y+3xy+2x=(y+2x)(y+x)
=(x+6x+8)(x+5x+8)
=(x+2)(x+4)(x+5x+8)．
说明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多项式．
例9分解因式：6x+7x-36x-7x+6．
解法1 原式=6(x+1)＋7x(x-1)-36x
=6［(x-2x+1)+2x］+7x(x-1)-36x 42
243
2222222
2222222
222
222
=6[(x-1)2+2x]+7x(x-1)-36x
=6(x-1)+7x(x-1)-24x
=[2(x-1)-3x］［3(x-1)+8x]
=(2x-3x-2)(3x+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．
说明本解法实际上是将x-1看作一个整体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体．
解法2
222
22222
原式=x[6(t+2)+7t-36]
=x(6t+7t-24)=x(2t-3)(3t+8)
=x[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]
=(2x-3x-2)(3x+8x-3)
=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)． 22222222
例10 分解因式：(x+xy+y)-4xy(x+y)．
分析本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的多项式叫作二元对称式．对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．
解原式=[(x+y)-xy]-4xy[(x+y)-2xy]．令x+y=u，xy=v，则
原式=(u-v)-4v(u-2v)
=u-6uv+9v
=(u-3v)
=(x+2xy+y-3xy)
=(x-xy+y)．
***2
22222
