九年级数学专页快乐寒假作业_快乐假期寒假作业数学

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九年级数学专页快乐寒假作业解答题

1.（2001江苏常州7分）（1）阅读下列内容：

几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。例如，考察代数式（x－1）(x－2)的值：

当x0；当10，x－22时，x－1>0，x－2>0，∴(x－1)(x－2)>0； ∴当x2时，(x-1)(x-2)>0；当1

(2)填写下表：（用“+”或“－”填入空格）

x5 x+2 －＋＋＋＋＋ x+1 －

＋＋＋＋ x-3 －－

＋＋＋ x-4 －－－

＋ x-5 －－－－－＋

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5)－

＋

(3)根据以上填表，写出当x__________________时，请你运用所发现的规律，写出当x___________________________时，【答案】解：（2）填表如下：

x5 x+2 －＋＋＋＋＋ x+1 －－＋＋＋＋ x-3 －－－＋＋＋ x-4 －－－－＋＋ x-5 －－－－－＋

(x+2)(x+1)(x-3)(x-4)(x-5)－＋－＋－＋

（3）x＜－2或－1

x11。【考点】分类归纳（数字的变化类），不等式的性质。

【分析】（2）将区间内一点代入即可确定各单项式在各区间的符号；

根据不等式“正正得正，正负得负，负负得正”的规律可确定多项式在的各区间的符号。

（3）从表中可得，当x＜－2或－1

列表；

x11 X－8 －＋＋＋＋ X－9 －－＋＋＋ X－10 －－－＋＋ X－11 －－－－＋

＋－＋－＋

从表中可得，当x11时。2.（2001江苏常州7分）在直角坐标系xoy中：（1）画出一次函数y= x+ 的图象，记作直线a，a与x轴的交点为C；

（2）画出△ABC，使BC在x轴上，点A在直线a上（点A在第一象限），且BC＝2，∠ABC＝1200；（3）写出点A、B、C的坐标；

（4）将△ABC绕点B在直角坐标平面内旋转，使点A落在x轴上，求此时过点A、B、C的抛物线的解析式。

【答案】解：（1）令x=0，则y=，令y=0，则x=－1，则函数图象与两坐标轴的交点分别为（0，），（－1，0）。作图如下：

（2）∵C在x轴上，且∠ABC=120°，∴B点坐标为（1，0），在直线y= x+ 的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。作图如下：

（3）A、B、C三点的坐标分别为：A（3，2），B（－1，0），C（1，0）。（4）设三角形旋转以后的图形为△A′B′C，根据旋转的性质可知A′C=AC，B′C=BC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°。同理，B也旋转了60°，即∠ACA′=∠BCB′=60°，A′C=AC=。故A′点坐标为（5，0）。同理可得B′C=BC=。

过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数的定义可知EC=1，故E与原点重合。此时B′点坐标为（0，2）。设此时过点A、B、C的抛物线的解析式，把A′，B′，C三点坐标分别代入得，解得。

∴此函数的解析式为y=

【考点】一次函数综合题，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数值的定义，勾股定理。

【分析】（1）分别令x=0，y=0找出直线与两坐标轴的交点即可画出一次函数y= x+ 的图象。

（2）在x轴上找点C，使BC=2，根据∠ABC=120°可知，C在B的右侧，且B点坐标为（1，0），在直线y= x+ 的图象上取点A，使∠ABC=120°即可。

（3）过A作AD⊥x轴，根据锐角三角函数的定义即可求出P点的坐标。设A（x，y），则y= x+，过A作AD⊥x轴，则CD=x－1，∠ACD=180°－∠ABC=180°－120°=60°。

∴AD=CD•tan60°=（x－1），即（x－1）= x+，解得x=3，y= •3＋ =2。∴A（3，2）。

由（1）（2）可知B、C三点的坐标分别为： B（－1，0），C（1，0）。

（4）根据旋转的性质当A落到x轴上时，设此点为A′则AA′=AC，此时AC旋转的角度为∠ACD=60°，同理，B也旋转了60°，BC=B′C，过B′作B′E⊥x轴，根据锐角三角函数值的定义可知B′此时正好落在y轴上，根据两点间的距离公式可求出B′、A′的坐标，再用待定系数法即可求出过点A、B、C的抛物线的解析式。

3.（江苏省常州市2002年8分）图1是棱长为a的小正方体，图2，图3由这样的小正方体摆放而成，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第一层，第二层。。。第n层，第n层的小正方体的个数记为s，解答下列问题：（1）

按照要求填表： n 1 2 3 4 …… s 1 3 6 …

(2)

写出当n=10时，s=______________.（1）据上表中的数据，把s作为纵坐标，n作为横坐标，n作为横坐标，在平面直角坐标系中描出相应的各点。

（2）请你猜一猜上述各点会在某一个函数图象上吗？如果在某一函数的图象上，求出该函数的解析式。【答案】解：（1）由题意得，n 1 2 3 4 …… s 1 3 6 10 …（2）55．（3）描点如下：

（4）猜想各点在二次函数的图象上。设函数的解析式为，由题意得，解之得。∴函数的解析式为。

【考点】二次函数的应用，分类归纳（图形变化）。待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）找规律：s=1+2+3+„+n= n（n+1），∴当n=4时，s=10。（2）当n=10时，s= ×10×（10+1）=55。（3）描点。

（4）由（1）s = n（n+1）可得猜想，用待定系数法求之。

4.（江苏省常州市2002年8分）已知：在菱形ABCD中，∠BAD=600，把它放在直角坐标系中，使AD边在y轴上，点C的坐标为（）

（1）画出符合题目条件的菱形与直角坐标系。（2）写出 A，B两点的坐标。

（3）设菱形ABCD的对角线的交点为P，问：在y轴上是否存在一点F，使得点P与点F关于菱形ABCD 的某条边所在的直线对称，如果存在，写出点F的坐标；如果不存在，请说明理由。（第37题不必写出计算过程）

【答案】解：（1）本题有两种情况。画图，如图所示：

图1

图2（2）图1时：A（0，2），B（）；图2时：A（0，14），B（）（3）图1时：F（0，8）；图2时：F（0，4）。

【考点】菱形的性质，坐标与图形性质，平行的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理，含300角直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的判定。【分析】（1）本题可分两种情况，如图。

（2）情况一，如图1，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，∴。

∴OA=OF－AF=8－（4＋2）=2。∴A点坐标为（0，2）。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向下平移4个单位就是B点的坐标（）。情况二，如图2，过C作CF⊥y轴于F，∠CDF=60°，CF=，∴。

∴OA=OF＋AF=8＋（4＋2）=14。∴A点坐标为（0，14）。

又∵菱形的边长为4，因此将C点坐标向上平移4个单位就是B点的坐标（）。（3）在（2）中所作的F点其实就是P点关于CD的对称点，理由如下：设CD与FP相交于点E，根据菱形的性质可知：∠FAC=30°，∴在Rt△FAC中，FC= AC=PC。而∠DCF=∠DCP=30°，CE=CE，∴△CFE≌△CPE（SAS）。

∴CD垂直平分PF，即可得出P、F关于CD对称。由（2）即可得到两种情况下的点F 为（0，8）和（0，4）。

5.（江苏省常州市2003年8分）如图，直线OC、BC的函数关系式分别为和，动点P（x，0）在OB上移动（0

（2）设△OBC中位于直线左侧部分的面积为s，写出s与x之间的函数关系式；（3）在直角坐标系中画出（2）中函数的图象；（4）当x为何值时，直线平分△OBC的面积？

【答案】解：（1）解方程组

得。

∴C点的坐标是（2，2）。（2）过点C作CD⊥x轴于D，分两种情况讨论：如图1，当0＜x≤2时，设直线与OC交于点M，则由△OPM∽△ODC得，即PM 2 =x 2，则PM=x，∴s= OP•PM= x2。

如图2，当2＜x＜3时，设直线与BC交于点N，则由△BPN∽△BDC得。∵DC=2，PB=3－x，DB=3－2=1，∴，即PN=2（3－x）。

∴△BPN的面积为 PB•PN=（3－x）2。又∵△OBC的面积是 ×3×2=3。

∴s=△OBC的面积－△BPN的面积=3－（3－x）2=－x2＋6 x－6 综上所述，s与x之间的函数关系式为。（3）作图如下：

（4）∵△OBC的面积是 ×3×2=3，△OCD的面积为 ×2×2 =2 ∴直线平分△OBC的面积时，0＜x＜2。∴由，解得（已舍负值）。

【考点】一次和二次函数综合题，相似三角形的判定和性质。

【分析】（1）解两个函数解析式组成的方程组，就可以求出交点C的坐标。（2）分直线在C点的左侧和右侧两种情况进行讨论即可。（3）描点作图即可。（4）分析直线平分△OBC的面积时，点P的位置，然后根据（3）中的函数解析式，列出方程，解方程就可以解决。

6.（江苏省常州市2003年10分）设一次函数的图象为直线，与x轴、y轴分别交于点A、B。（1）求tan∠BAO的值；

（2）直线过点（－3，0），若直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似，求直线的解析式。

【答案】解：（1）在一次函数中，令x=0，解得y=2；令y=0，解得x=－4。∴A，B的坐标是（－4，0），（0，2）。∴OA=4，OB=2。∴。

（2）设直线与相交于点M，与x轴相交于点P（－3，0），与y轴相交于点N，则直线、与x轴围成的三角形为△APM，直线、与y轴围成的三角形为△NBM。

分三种情况讨论：

①当点N在y轴负半轴上，如图1，当只有当∠AMP=∠NMB=900时，△APM∽△NBM。此时，△AOB∽△NOP，得，∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，－6）。设直线的解析式为，则，解得。

∴直线的解析式为。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB的延长线上，如图2，当只有当∠MAP=∠MNB时，△APM∽△NBM。此时，△AOB∽△NOP，得，∵OP=3，OB=2，OA=4，∴ON=6。∴N（0，6）。设直线的解析式为，则，解得。

∴直线的解析式为。

②当点N在y轴正半轴上，且在OB上，如图3，∵∠AMP=∠BMN，但∠BNM=∠PNO＞∠NPO（∵ON＜OP＜OA）

＜∠PAM，∠BNM=∠PNO＜∠APM，∴此时，△APM∽△NBM不成立。

综上所述，直线、与x轴围成的三角形和直线、与y轴围成的三角形相似时，直线的解析式为或。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，相似三角形的判定和性质，三角形边角关系，三角形外角性质。

【分析】（1）在一次函数中，求出函数与坐标轴的交点坐标，就可以求出OA，OB的长，就可以求出三角函数值。

（2）分点N在y轴负半轴上；点N在y轴正半轴上，且在OB上；点N在y轴正半轴上，且在OB上三种情况分别讨论即可。

7.（江苏省常州市2004年9分）仔细阅读下列材料，然后解答问题。

某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售。同时当顾客在该商场消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围

„

获得奖卷的金额（元）30 60 100 130 „

根据上述促销方法，顾客在商场内购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为450元的商品，则消费金额为元，获得的优惠额为元。设购买该商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额÷商品的标价。（1）购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？

（2）对于标价在500元与800元之间（含500元和800元）的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可以得到的优惠率？

8.（江苏省常州市2004年9分）已知：如图，在平面直角坐标系中，点C在轴上，以C为圆心，4cm为半径的圆与轴相交于点A、B，与轴相交于D、E，且。点P是⊙C上一动点（P点与A、B点不重合）。连结BP、AP。（1）求∠BPA的度数；

（2）若过点P的⊙C的切线交轴于点G，是否存在点P，使△APB与以A、G、P为顶点的三角形相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

【答案】解：（1）根据垂径定理得到，又∵，∴。

∴劣弧的度数是120°。∴∠BPA=60°或∠BPA=120°。

（2）设存在点P，使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。①当P在弧EAD上时，（图1）GP切⊙C于点P，∴∠GPA=∠PBA。

又∵∠GAP是△ABP的外角，∴∠GAP＞∠BPA，∠GAP＞∠PBA。

∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠GAP=∠PAB=90°，∴BP为⊙C的直径。

在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PB=8，∴PA=4，AB=，OA=。∴P（，4）。

②当P在弧EBD上时，（图2）在△PAB和△GAP中，∵∠PBA是△GBP的外角，∴∠PBA＞∠PGB。，又∵∠PAB=∠GAP，∴欲使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似，须∠APB=∠PGB，∵GP切⊙C于点P，∴∠GPB=∠PAG。

由三角形内角和定理知：∠ABP=∠GBP，∴∠ABP=∠GBP=90°。在Rt△PAB中，∠BPA=60°，PA=8，∴PB=4，AB=，OB=，∴P（－，4）。

综上所述，存在点P1（，4）、P2（－，4）使△APB与以点A、G、P为顶点的三角形相似。【考点】圆周角定理，坐标与图形性质，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定。

【分析】（1）点P可以在优弧AB上或在劣弧AB上，只需求得其中的一种情况，再根据圆内接四边形的对角互补即可求得另一种情况．根据垂径定理得到，则，再根据半圆的度数是180°，从而求得的度数是60°，则劣弧的度数是120°，从而求得∠BPA的度数。

（2）分两种情况，即点P在y轴的左侧和右侧，若相似，根据相似三角形的对应角相等，分析得到两个三角形必是直角三角形，再结合（1）中求得的角的度数，运用解直角三角形的知识求解。

9.（江苏省常州市2005年8分）有一个Rt△ABC，∠A=900，∠B=600，AB=1，将它放在直角坐标系中，使斜边BC在x轴上，直角顶点A在反比例函数的图象上，求点C的坐标．

【答案】解：本题共有4种情况：（1）如图①，过点A做AD⊥BC于D，在Rt△ABC中，∠A=900，∠B=600，AB=1，∴。

在Rt△ABC中，∠ADB=900，∠B=600，AB=1，∴AD=ABsin60°=，BD= ABcos60°=。

∴点A的纵坐标为。

将其代入，得x=2，即OD=2。

∴OC=OB＋BC=（OD－BD）＋BC=（2－）＋2=。∴点C1的坐标为（）。

（2）如图②，过点A作AE⊥BC于E，同上，可得AE=，OE=2，CE=，OC=。

∴点C2的坐标为（，0）。

根据双曲线的对称性，得点C3的坐标为（），点C4的坐标为（）。综上所述，点C的坐标分别为：（）、（，0）、（）、（）。

【考点】反比例函数综合题，反比例函数的性质，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据反比例函数的性质，分四种情况解直角三角形即可。

10.（江苏省常州市2005年12分）已知⊙O的半径为1，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系．有一个正方形ABCD，顶点B的坐标为（，0），顶点A在轴上方，顶点D在⊙O上运动．（1）当点D运动到与点A、O在一条直线上时，CD与⊙O相切吗？如果相切，请说明理由，并求出OD所在直线对应的函数表达式；如果不相切，也请说明理由；

（2）设点D的横坐标为，正方形ABCD的面积为S，求出S与的函数关系式，并求出S的最大值和最小值．

【答案】解：（1）CD与⊙O相切。理由如下： ∵A、D、O在一直线上，∠ADC=90°，∴∠COD=90°。∴CD是⊙O的切线。CD与⊙O相切时，有两种情况： ①切点在第二象限时（如图①），设正方形ABCD的边长为a，则a2＋（a＋1）2=13，解得a=2，或a=－3（舍去）。

过点D作DE⊥OB于E，则Rt△ODE≌Rt△OBA，∴，即。∴DE=，OE=。∴点D的坐标是（－，）。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。②切点在第四象限时（如图②），设正方形ABCD的边长为b，则b2＋（b－1）2=13，解得b=－2（舍去），或b=3。

过点D作DF⊥OB于F，则Rt△ODF∽Rt△OBA，∴，即。∴OF=，DF=。

∴点D的坐标是（，－）。

∴OD所在直线对应的函数表达式为y=。

（2）如图③，过点D作DG⊥OB于G，连接BD、OD，则BD2=BG2＋DG2=（BO－OG）2＋OD2－OG2 =。

∴S=AB2=。

∵－1≤x≤1，∴S的最大值为，最小值为。

【考点】一次函数综合题，圆切线的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。

【分析】（1）易证CD是⊙O的切线，分点D在第二象限和第四象限两种情况，求出D的坐标，根据待定系数法，求出函数解析式。