中考数学冲刺3_上海中考数学冲刺篇
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中考冲刺三：动手操作型专题
一、热点分析中考动向
在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革的精神，出现了动手操作题.动手操作题是让学生在通过实际操作的基础上设计有关的问题.这类题对学生的能力有更高的要求，有利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念.操作型问题是指通过动手测量、作图(象)、取值、计算等实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想.因此.实验操作问题将成为今后中考的热点题型.知识升华
题型1：动手问题
此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起.题型2：证明问题
动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明.题型3：探索性问题
此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归纳等问题，它与初中代数、几何均有联系.此类题目对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的方法有一定的作用，也符合新课改的教育理念.二、经典例题透析类型一：动手问题
处，得折1．（1）（2010天津）有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
折叠，使点B、D重合，点C落在点
第一步：如图①，将矩形纸片痕EF；
第二步：如图②，将五边形
折叠，使AE、重合，得折痕DG，再打开；
落在点
处，点
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、E、F落在点处，均落在DG上，点A、得折痕MN、QP.这样，就可以折出一个五边形
.（Ⅰ）请写出图①中一组相等的线段（写出一组即可）；
（Ⅱ）若这样折出的五边形DMNPQ（如图③）恰好是一个正五边形，当时，有下列结论：
①
； ②
；，③；
④.其中，正确结论的序号是（把你认为正确结论的序号都填上）.答案：
（Ⅰ）
（Ⅱ）①②③.（2）将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺平，•得到的图形是()(答案不惟一，也可以是
等)；
思路点拨：两次折叠后所剪菱形小洞应在正方形纸片中心处，并且所得四个菱形小洞关于正方形对角线对称，菱形小洞锐角顶点在对角线交点.答案：C.2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上，那么∠EMF的度数是()
A．85°
B．90°
C．95°
D．100°
思路点拨：如图方式折叠，所得四边形FMC′D′与四边形FMCD关于FM成轴对称，所得△EMB′与△EMB关于EM成轴对称，所以有，答案：B..3．(广州市)如图(1)，将一块正方形木板用虚线划分成36个全等的小正方形，然后，按其中的实线切成七块形状不完全相同的小木片，制成一副七巧板.用这副七巧板拼成图(2)的图案，则图(2)中阴影部分的面积是整个图案面积的()
A．
B．
C．
D．
思路点拨：题目中的图(2)是对思维的干扰，如果直接提问“图(1)中小正方形的面积是大正方形面积的几分之几”，问题就变得简单明了．在图(1)中可以体会到，小正方形的面积等于两个斜边为3的等腰直角三角形的面积之和，计算得小正方形的面积等于，因此小正方形的面积是大正方形面积的答案：D．
．
4．如图，一宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一
边与圆两个交点处的读数恰好为“2”和“8”(单位：cm)，则该圆的半径为___________cm.思路点拨：如图，AB=6cm，CD=2cm，有
设该圆半径为，由勾股定理，OD平分AB，AC=3cm，代数解之可得.答案：.类型二：证明问题
5．（1）（2010四川南充）如图，△ABC内接于⊙O，AD⊥BC，OE⊥BC，OE＝BC．
①求∠BAC的度数．
②将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．求证：四边形AFHG是
正方形．
③若BD＝6，CD＝4，求AD的长．
解答：①解：连结OB和OC．
∵OE⊥BC，∴BE＝CE．
∵OE＝BC，∴∠BOC＝90°，∴∠BAC＝45°．
②证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．
由折叠可知，AG＝AF＝AD，∠AGH＝∠AFH＝90°，∠BAG＝∠BAD，∠CAF＝∠CAD，∴∠BAG＋∠CAF＝∠BAD＋∠CAD＝∠BAC＝45°．
∴∠GAF＝∠BAG＋∠CAF＋∠BAC＝90°．
∴四边形AFHG是正方形．
③解：由(2)得，∠BHC＝90°，GH＝HF＝AD，GB＝BD＝6，CF＝CD＝4．
设AD的长为x，则BH＝GH－GB＝x－6，CH＝HF－CF＝x－4．
在Rt△BCH中，BH2＋CH2＝BC2，∴(x－6)2＋(x－4)2＝102．
解得，x1＝12，x2＝－2(不合题意，舍去)．
∴AD＝12．
（2）(浙江省)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片(如图2)，量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合(在图3至图6中统一用F表示)
(图1)
(图2)
(图3)
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.①将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F重合，请你求出平移的距离；
②将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
③将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH.(图4)
(图5)
(图6)
解：
①图形平移的距离就是线段BC的长
又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC=30°，∴BC=5cm，∴平移的距离为5cm.②∵，∴，∠D=30°.∴.，在Rt△EFD中，ED=10 cm，∵FD=
∴
③△AHE与△
∵
∴
又∵
∴.，即，∴△中，∵，.≌△
(AAS).，cm.类型三：探索性问题
6．(青岛)提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
(1)当AP=AD时(如图②)：
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=
∴S△PBC=SS△CDA.四边形ABCD
-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD
-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD
-(S
四边形ABCD
-S△DBC)-(S
四边形ABCD
-S△ABC)
=S△DBC＋S△ABC.(2)当AP=AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
(3)当AP=AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：_________；
(4)一般地，当AP=写出求解过程；
AD(n表示正整数)时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，问题解决：当AP=___________.AD(0≤
≤1)时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：
解：⑵ ∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=
∴S△PBC=S
S△CDA.四边形ABCD
-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD
-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD
-(S
四边形ABCD
-S△DBC)-(S
四边形ABCD
-S△ABC)
=S△DBC＋S△ABC.∴S△PBC=S△DBC＋S△ABC.⑶ S△PBC=S△DBC＋S△ABC ；
⑷ S△PBC=S△DBC＋S△ABC ；
∵AP=AD，△ABP和△ABD的高相等，∴S△ABP=S△ABD.又∵PD=AD-AP=AD，△CDP和△CDA的高相等，∴S△CDP=
∴S△PBC=S
S△CDA.四边形ABCD
-S△ABP-S△CDP
=S四边形ABCD
-S△ABD-S△CDA
=S四边形ABCD
-(S
四边形ABCD
-S△DBC)-(S
四边形ABCD
-S△ABC)
=
S△DBC＋S△ABC.∴S△PBC=S△DBC＋S△ABC.问题解决： S△PBC=
S△DBC＋S△ABC.7．（1）（2010浙江嘉兴）如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相的顶点同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个与点P重合，第二个的顶点、在圆上．的顶点
是
与PQ的交点，„，最后一个
①如图1，当时，求正三角形的边长；
②如图2，当时，求正三角形的边长
；
③如题图，求正三角形的边长（用含n的代数式表示）．
解：
①设与交于点D，连结，则，在中，即
解得
②设
则
在即中，与．，交于点E，连结，，解得
③设与．
交于点F，连结，则
在中，即，解得．
（2）(孝感)在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是：
第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开(如图1)；
第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN(如图2).(图1)
(图2)
请解答以下问题：
①如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论.②在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合(1)中结论的三角形纸
片BMP ？
③设矩形ABCD的边AB=2，BC=4，并建立如图3所示的直角坐标系.设直线，当
=60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上
为(E、F分别为AB、CD中
点)？为什么？
(图3)解：①△BMP是等边三角形.证明：连结AN
∵EF垂直平分AB ∴AN=BN
由折叠知 AB=BN
∴AN=AB=BN ∴△ABN为等边三角形
∴∠ABN=60° ∴∠PBN=30°
又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°
∴∠BPN=60°
∠MBP=∠MBN ＋∠PBN=60°
∴∠BMP=60°
∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°
∴△BMP为等边三角形.②要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC ≥BP
在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°
∴BP= ∴b≥ ∴a≤b.∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.③∵∠M′BC=60° ∴∠ABM′=90°-60°=30°
在Rt△ABM′中，tan∠ABM′= ∴tan30°= ∴AM′=
∴M′(，2).代入y=kx中，得
设△ABM′沿BM′折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为
过
∵△
∴作
交BC于H.，.BM′≌△ABM′ ∴
在∴
∴
中，落在EF上.(图2)
(图3)
