二元函数的极限与连续_二元函数极限与连续
二元函数的极限与连续由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“二元函数极限与连续”。
§2.3 二元函数的极限与连续
定义
设二元函数有意义, 若存在常数A,都有
则称A是函数当点 趋于点
或
或
趋于点时的极限,记作。的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或
必须注意这个极限值与点
论P以什么方
向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向
分接近, 就能 使。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多
种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。
图8-7
同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限
在该点
存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。
极限不存在。这是判断多
一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极
限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若
有, 其中。
求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理
来计算。例4 求。解由于,而,根据夹逼定理知,所以。
a≠0)。
解
例
求
（。例6 求。解
由于理知
且,所以根据夹逼定
.例7
研究函数
在点
处极限是否存在。解当x
2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于
（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限
不存在,但,。很显然，对于不同的k。
注意：极限方式的的区别, 前面两个求
本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的极限,我们称为求二重极限。
例8
设函数极限都不存在,因
为对任何,当
时,。它关于原点的两个累次的第二项不存在极限；同理对任何
时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。
由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存
在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果:定理1 若累次极限
都存在,则
三者相等（证明略）。推论
若但不相等,则二重极限
不
存在和二重极
限,由于,存在。定义 设
在点的某邻域内有意义,且称
函
数,则
在点
处
连
续,记
上式称为函数(值)的全增
量。
则。
定义
增量。
为函数(值)对x的偏
二元函数连续的定义可写为
偏增量。
若
断点, 若
在点
为函数（值）对y的处不连续,则称点
是的间
在某区域
在区域G上连续。若
在闭区域G
G上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点
处成立,则称
为连续曲面。
在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称
关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor
定理,对于
二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：定理2设
在平面有界闭区域G上连续,则
（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当
时,都有
。以上关于二元函数的在G上一致连续,即
极限和连续的有关性质和结论在n元函数中仍然成立。
