第一章函数、极限与连续学习指导_第一章函数极限连续

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第一章函数、极限与连续

重点：极限基本理论及计算、闭区间上连续函数的性质。

难点：

1．计算极限技巧；

2．极限的“X”，“”语言，（一）

A1函数概念是高等数学的基本概念，反应了同一过程中，几个变量的联系以及依赖关系。函数定义强调了自变量x在定义D上每取一值时，函数y都有唯一确定的值与它对应，而对于对应关系的形式，定义中并无限制，因此一个函数可以用分析式子来表达，也可以用图象法和表格法来表达。在用分析式子来表达时，可用一个式子表达，也可用几个式子（即分段函数），参数式（实质是以参变量为中间变量的复合函数），隐式（即隐函数）表达。

A2高等数学讨论的函数主要是初等函数。初等函数是由基本初等函数组成，因此对基本初等函数及其性质要非常熟悉，否则在研究初等函数的性质时会遇到困难。对基本初等函数以及性质的深入了解应结合函数图形进行，将函数的性质与图形的特点逐一对照，在此基础上利用图形来记忆函数的性质。

A3由于极限是研究变量在无限变化过程中的趋势，因此必须从变化的、运动的角度来认识极限，在极限的描述性定义中应明确fx“无限接近于A”的含义。“fx无限接近于A”是指x在某一过程中，fx与A要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可达到任意小。

“x无限接近于a”，“fx无限接近于A”均刻划了变量无限接近于某个常数。这里有两点值得注意：

①无限接近是指在变化过程中，变量与某个常量要有多接近就有多接近，或者说fx与A的误差可以达到任意小，因此“无限接近”与“越来越接近”的含义是不同的。

②变量无限接近于某个常量并没有要求达到这个常量，如“x无限接近于a时，fx无限接近于A”，这个描述并不要求也不要求．．．x最终达到a，．．．fx达到A。这一点不可忽视。

A4闭区间上连续函数具有：有界性、最值性、介值性、零值性。在这里，闭区间与函数连续这两个前提应引起充分的注意，当前提不满足时结论就不能成立。

数列极限是特殊的函数极限。因此，其极限性质也有其特殊性。如函数极限只具有局部有界性，而存在极限的数列xn是有界的，这里就有一个局部和整体的差别，其它性质也可进行对照比较。

A5闭区间上连续函数的性质在实际中应用较广泛，在科学技术中常需知某个方程的根的近似值。对于较复杂的方程，若知fafb0便可由零值定理知所求的根落在a,b内，而求出满足fafb0的a，b一般比求出方程

fx0的根要容易得多。

（二）B1“连续”是个局部的概念，是在xx0这一点定义的，因此区间上的连续函数是指对区间上的任一点处，函数都连续。

B2函数fx在x0连续的定义常用以下两种：

定义1：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且limfxfa，则称函数

xx0

fx在x0处连续。

定义2：若fx在点x0的某个邻域内有定义，且fx在x0处有limy0，x0

则称函数fx在x0处连续。

从以上定义中看出，fx在x0处连续的充要条件为同时满足以下三条： ①limfx存在；②fx在xx0处有定义；③极限值limfx与函数值

xx0

xx0

fx0相等。

B3无穷小量就是极限为0的变量，因此，极限为的变量显然不是无穷小量，依无穷大量的定义，它是无穷大量。

常用的等价无穷小量：当x0时，x~sinx~tgx~ln1x~ex1；

ax1~xlnaa0；1x1~x0。



B

4计算极限的基本方法小结：

1．利用极限四则运算、夹逼原理、两个重要极限求极限； 2．约简分式、分子（分母）有理化法； 3．变量替换法； 4．等价无穷小的替换法； 5．利用连续函数求极限法 6．利用对数求极限法；

7．利用洛必塔法则求极限（第二章后）。

（三），“”语言定义函数极限具有简练、精确、使用方便的C1用“X”

特点。但由于这种语言要通过一些符号、式子来表达，从而比较抽象。因此应将极限的描述性定义与用“X”，“”语言给出的定义加以对照，深入理解。

下面以limfxA为例，将极限的描述性定义转化为用“”语言给出

xx0的定义，从而加深对用“”语言的理解。

xx0

limfxA表示了：

当x无限接近于x0时，因变量fx无限地接近于常数A，即：fxA可以任意小，只要xx0充分小（不用考虑xx0的情况）即：0，只要xx0充分小，（不用考虑xx0的情况），就有fxA，即：0，0，当0xx0时，就有fx。

这时应注意到，且不唯一。而定义中对，只要求了它的存在性，加外并无要求。由的任意给定和fxA的呼应，用运动变化的观点来刻划fx与A的无限接近。，“”语言中，X、均用于刻划自变量x的变化过程，C2“X”

而是用于刻划因变量y的变化趋势的。自变量x的变化过程有：x、、xx0。而对自变量每个变化过程，因x、x、xx、xx0

变量yfx可有不同的变化趋势：fxA、fx、fx、（当然也可以考虑分得更fx。因此搭配起来就有24个不同的极限定义。细些）

只要真正掌握了极限的基本思想，理解了以上C1，这24个不同的极限定义，是可以理解和掌握的。，“”语言给出的极限定义。C3可利用图象理解“X”

从图中易看出无论取多么小，作二条平行线yA，一定存在邻域

ˆ0,，当x在这个邻域内变化的时候，对应函数图象落入这二条平行线之间。Nx

请将图中看到的这个结果与极限的“”的叙述语言联系起来考虑，并可考虑相应的图象来理解“”语言给出的极限定义。，“”语言来证明函数的极限为某值时，语言一定C4使用“X”

要规范，初学者应按教材上的例题为范例，进行证明，否则易走弯路。

例证明：当x00时，limxx0。

xx0

证：0，因为fxA

xx0

xx0xx0

1x0

xx0

要使fxA，只要xx0x0，且x0，而x0，可用xx0x0保证，因此取minx0,x0 则当x满足0xx0时，对应的函数值x满足不等式

xx0



即limxx0。

xx0

特别注意：

①证明中的划直线部分，实际上正是limxx0的“”语言定义；

xx0

②划曲线部分是用“X”，“”语言来证明xx0时，函数极限为A这类问题的主要叙述语言，要尽快地熟悉和掌握；

③式子fxA

1x0

该式应引起充分注意，通过放大的手段，xx0，将fxA与xx0联系起来了。

④从以上证明中不难看出的取法不唯一，对小于minx0,x0的数均可作为。



C5一致连续是个整体性的概念，它与fx在区间上连续的差别在于fx在区间I上连续，即0，对I上的不同的x0，分别存在x00，当xx0x0

时，fxfx0，这里的x0一般因x0的不同而不同。但若fx在区间I上一致连续，则对于给定的0，存在公共的0，对于I上的任一x0，当恒有fxfx0 成立。由于x与x0地位是相当的，因此f在xx0时，I上一致连续用“”语言来定义时通常表达为：0，0，x1I，x2I，当x1x2时恒有fx1fx2。

C6柯西准则

我们以数列极限为例容易知道，①有极限的数列在n充分大时，它们的项的变化是很微小的。这个特点就是收敛数列的本质。因此，一个数列的收敛或发散可从该数列本身的结构入手进行刻划，柯西准则就是这样刻划数列的敛散性的，它是数列an存在极限的充要条件。

②柯西准则中的an，am是指数列在N项以后的任二项。