举例说明_说明方法举例说明

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比如，lim_{x->0}[lim_{y->0}(yx/(x^2 + y^2))] = 0, lim_{y->0}[lim_{x->0}(yx/(x^2 + y^2))] = 0。但，lim_{x->0,y->0}(yx/(x^2 + y^2))不存在。因为，如果lim_{x->0,y->0}(yx/(x^2 + y^2))存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，(yx/(x^2 + y^2))恒等于1/2,不等于0。所以，lim_{x->0,y->0}(yx/(x^2 + y^2))一定不存在。

其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。

1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。

若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则，二重极限一定不存在。

若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。

若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。

若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。

即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证，二重极限一定存在。

若1元函数的左右极限都存在且相等，则，极限一定存在且等于左右极限。

只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近[左极限]和从右边逼近[右极限]。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。

但，在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式[只要判断左右极限]来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。

反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。