单调有界_单调有界准则是什么

2020-02-28 其他范文下载本文

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单调有界定理

2.4.3 实数的连续性

实数集比有理集多了一个重要性质，这就是连续性.正因为实数集具有连续性，所以在实数集上的极限运算才是封闭的，从而实数集就成为数学分析的立论基础。定理2.4.3（单调有界定理）若数列{an}单调增加且有上界，则数列{an}收敛。证明：我们不妨假设an ≥0，否则，存在某个有理数c>0，使an′= an+c≥0，从而由讨论数列{ an}变为讨论数列{ an′}。

由引理2.4.1知，数列{ an}稳定于某个实数a＝

是数列{ an}的极限。，下面证明，a 就

事实上，＞0，…，an k

n0 N，当n≥n0时，…，＜。由引理2.4.1知，an

对于充分大的n0，当n＞n0时，有

an＝

︱an-a︱=︱，an′

例1 设a0＞0，b>0，an＝

并求其极限。

证明：不难看出，有 n（），n=1，2，…，证明数列｛an｝收敛，N，有an＞0，根据几何平均不超过算术平均，n N，an＝（）≥（。）

＝b，即数列｛an｝有下界

n N，有

an+1-an＝

（）-an＝

（b-an2）≤0，即数列｛an｝单调减少。

根据推论4.1，数列｛an｝收敛，设

＝a，由极限的单调性，有a≥

>0。对等式an+1＝

（）两端取极限得a=

（a+），因a>0，得a=

。注4.4 当b=2时，收敛于无理数

。是无理数，例1表明：若a0是一有理数，则有理数列｛an｝

求极限的方法小结

阮正顺

极限思想贯穿整个高等数学的课程之中，而给定函数的极限的求法则成为极限思想的基础，因此有必要总结极限的求法，其求法可总结为以下几种：

一、利用极限四则运算法则

对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限四则运算法则，法则本身很简单，但为了能够使用这些法则，往往需要先对函数做某些恒等变形或化简，采用怎样的变形和化简，要根据具体的算式确定，常用的变形或化简有分式的约分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函数的恒等变形、某些求和或求积公式以及适当的变量替换。

例 1.2.二、利用两个重要极限

两个重要极限为：或使用它们求极限时，最重要的是对所给的函数或数列做适当的变形，使之具有相应的形式，有时也可通过变量替换使问题简化。

例 1.2.三、利用夹逼准则求极限

关键在于选用合适的不等式。

例 1.2.设，且求

四、利用单调有界准则求极限

首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。例1.设求极限。

五、利用无穷小的性质求极限

有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。用等价无穷小替换求极限常常行之有效。

例 1.2.六、利用函数连续性求极限设在点处连续，则。

例 1.2.七、利用洛必达法则求极限

洛必达法则对求未定式的极限而言，是一种简便而又有效的方法，前面出现的许多极限都可以使用此法则。使用时，注意适当地化简、换元，并与前面的其他方法结合使用，可极大的简化运算。