问题解决教学法在两个重要极限中的应用(两栏)_两个重要极限的应用

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问题解决教学法在两个重要极限中的应用

胡道伟

摘要：本文通过引入两个典型问题详细探讨了如何将问题解决教学法应用于两个重要极限及其具体教学设计过程，提出在高等数学的教学中若能对某些教学内容采用问题解决教学法可提高学生的学习兴趣以及思考解决问题的能力，从而提升教学效果。关键词：问题解决教学法；两个重要极限；学习兴趣 中图分类号：O13文献标志码：A

问题是驱动数学发展的动力，数学的问题主要来自两方面：一是来在现实当中需要解决的问题，特别是源自自然科学和社会科学发展的需要；二是来自数学内在逻辑发展与数学直觉。这些问题推动着数学这门学科不断的向前发展【1】。

在数学教育中，美国教师协会(NCTM)在1980年4月公布的文件《关于行动的议程》中指出“80年代的数学大纲，应当在各年级都介绍数学的应用，把学生引进问题解决中去”，“数学课程应当围绕问题解决来组织”，“数学教师应当创造一种使问题解决并得以蓬勃发展的课堂环境”。问题解决提出一种新的教学模式，一般可分为四个步骤：(1)教师提出问题；(2)教师引导学生分析问题，并引出课堂教学课题；(3)教师讲解教学内容；(4)学生分析、讨论并解决教师提出的问题，教师释疑【1】。在这个过程中，师生达

文章编号： 到了良好的互动、沟通，并且通过问题的解决，让学生感觉到数学是生动有趣并且是有用的，增强他们学习的兴趣。我们认为问题解决教学法不仅适应与中学数学，对于高等数学的教学，在某些内容若能应用该教法，会受到比传统的讲授法更好的教学效果。以下我们结合两个重要极限这个内容来谈谈问题解决教学法的应用。

关于两个重要极限，教材以及文献中已有较多阐述【2-6】，传统的教学是在讲授完两个重要极限的证明过程后直接讲解一些应用这两个极限的习题，学生在学完之后只知道这两个极限能解决一些极限计算的习题，并不能体会到它们的重要之处在哪。我们认为在讲解两个重要极限时，可以应用问题解决教学法，以下描述其具体教学设计过程。

对于第一个重要极限lim

sinx

x0x

1，在教学时我们可提出如下问题：

问题1：半径为R的圆的面积为多少，如何计算？

在问题1中，学生可以很清晰的回答圆的面积公式，但是具体怎么计算就不知道了，这是典型的知其然但不知其所以然。这时可引导学生进入教学的第二个环节，通过计算引出第一个重要极限lim

sinx

x0x。

圆的面积计算涉及极限的思想，我们用圆内接正n边形的面积来逼近圆的面积，当n时正n边形的面积趋近于圆的面积，此处将用到数列的极限。

图1圆的内接正n边形

如图1所示，考虑该圆内接正n边形，，S1OAB2RsinRcos1R2sin2n22n,则正n边形的面积S

1nR2sin2

2n，圆的面积S12

Olimn2nR2sin

n，问题是此极限如何计算？如此已完成了第二步，引导学生进入教学主题。

接下来进入第三步，教师讲解第一个重要极限lim

sinx

x0x

1及其证明过

程，然后讲解与第一个重要极限相关的运算技巧与典型例题，最后让学生思考之前提出的问题：如何计算

Slim1n2nR2sin2

On？

此问题并不难解决，有了前面的第三步讲解做铺垫，学生会意识到“此数列极限是函数极限的特殊情形，此数列极限问题lim1nR2sin

2

n2n

是可以转化为第一个重要极限lisinx

x0x

解决的”，部分学生通过思考、讨论可得到此问题的解，此时教师可随堂走动、引导学生解决此问题，具体过程如下：

2S12

R2sin

Olimn2nR2sinnlim

n

n

sin

2

R2lim

n

R2.n

至此，第一个重要极限已经讲解完

毕，而圆的面积计算问题也同时得到了解决，学生与教师的互动过程中能体会到极限lim

sinx

x0x

1的重要性（能

解决圆的面积问题），提高了学习的兴趣。

对于第二个重要极限，我们在教

材[2]中第46页找个一个很好的例子：连续复利的计算问题。现在银行的利息计算基本都是复利，这是一个实际当中常遇到的问题，学生很感兴趣，我们可将此例作为问题提出，现将此问题简单叙述如下：

问题2：设某人以本金p元进行一项投资，投资的年利率为r，问t年后资金总额为多少？【2】

由复利理论，若以年为单位计算复利，那么t年后，资金总额将变为

p1rt

元；若以

1n

年为单位计算复

利，则t年后的资金总额变为

nt

p1r

n

元，若n，即每时每刻计算利息，称之为连续复利，则t年后

nt的资金总额将变为limn

pr

1n，问题

是此极限如何计算，这就引出了第二个重要极限。接下来教师在讲完第二

1

x

个重要极限limx

1+x

e的证明与相

关应用技巧、典型例题后，可引导学生思考、解决此问题。由第三步教师对第二个重要极限的证明过程学生可看到：数列极限是第二个重要极限

x

limx

1

x

e的特殊情形，问题二中nt的极限limn

p1r

n

计算是个容易解

决的问题，绝大部分学生可独自思考完成此问题的解答，如此便完成了应用问题解决教学法讲解第二个重要极限的整个教学过程。

本文结合两个重要极限，详细讲解了问题解决教学法的具体教学过程，其中引入的两个问题虽不是新颖的问题，但在教学中若应用得当可让学生体会到数学是有用的，激发其学习兴趣。与传统的讲授法相比，问题解决教学法可让学生体会到问题的提出与解决整个过程，让他们感觉到数学理论是生动的、有用的，可解决数学与现实中的许多问题，提高其学习兴趣。总之，在高等数学的教学中，若能适当的引入问题解决教学法，可提高学生的学习兴趣，收到更好的教学效果。本文详细探讨了问题解决教学法在两个重要极限教学中的应用及其具体教学设计过程。

参考文献：

[1] 叶立军．新课程中学数学实用教学80法[M]．广州：广东教育出版社，2004：249-251．

[2] 同济大学数学系．高等数学及其应用（第二版）［M］．北京：高等教育出版社，2008：25-31，46-47．

[3] 王绍锋．关于两个重要极限的教学[J]．济

宁师专学报，1999，20（3）:8-9． [4] 张建梅．激疑式教学法在两个重要极限

教学中的应用[J]．黑龙江农垦师专学报，2001，1：85-88．

[5] 王达开．两个重要极限应用探讨[J]．辽宁教育行政学院学报，2004，21（2）：71-72．

[6] 闫国松．浅谈两个重要极限的“四位一

体”教法[J]，科技信息，2006,03：282．

Applying Teaching Method of Problem Solving to Two Important LimitsHUDao-wei

Abstract: In this paper, by introducing two typical examples we discu how to apply teaching method of problem solving to two important limits and describe the teaching design proce in details.We propose that in the teaching of Advanced Mathematics applying teaching method of problem solving in some materials can increase students’ study interest and ability of thinking and solving problems, so to improve teaching effect.Keywords: teaching method of problem solving, two important limits, study interest