两个重要极限_极限两个重要极限

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2.5.1两个重要极限（第一课时）

——新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标

1.复习该章的重点内容。

2.理解重要极限公式。

3.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点

重点：公式的熟记与理解。

难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入

（1）极限存在性定理：xlimfx(x)Alimf(x)limf(x)A 0xx0xx0

（2）无穷大量与无穷小量互为倒数，若f(x)（xx0），1f(x)（0xx0）

（3）极限的四则运算：

limf(x)g(x)limf(x)limg(x)limf(x)g(x)limf(x)limg(x)limf(x)

g(limf(x)

x)limg(x)limgx0

（4）limcf(x)climf(x)（加法推论）

（5）limf(x)klimf(x)k（乘法推论）

（6）lim无穷小量有界变量0（无穷小量的性质）eg: limsinxlim

xx1sinx0 xx则

那么，lim

sinxx

？呢，这是我们本节课要学的重要极限

x02、掌握重要极限公式lim

sinxx

x0



1公式的特征：（1）型极限；

（2）分子是正弦函数；

（3）sin后面的变量与分母的变量相同。

3、典型例题 【例1】求 lim解：lim

sinxkx

x0

sinxkxsinxxtanxx

x0

k



0

1k1

1k

=

1k

lim

x0

【例2】求 lim解：lim

tanxx

x0

sinx1

lim111 lim

x0cosxcosxx0x

1x0

sin

=lim

x0

x



x

（推导公式：lim

tanx

x0

【例3】求 lim解：lim

sin5xx

x0

1）

xsin5xx5x

x0

lim5

x0

sin5x

5lim

sin5x5x

x0

51

54、强化练习（1）lim

sinx3x

x0

x0

（2）lim

sinx

sinkxxsinxxsinkxkx

x0

k

1

30（3）lim

1

sin5x3x

x0

(4)lim

tan2xx

x0

解：（1）lim（2）lim（3）lim

x0（4）lim

x0

3xsinkxx

=

lim

x0

limk

x0

klim

3sinkxkx

x0

k1k

sin5x3xtan2xx

sin5x55sin5x5

5limlim1x033x05x335x=limx0

sin2xx

x0

sin2x1

lim2111 2lim

x0x0cos2xcos2x2x

四、小结:

本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子sin后面的变量与分母的变量相同。

五、布置作业:（1）sinx（2）sin3x（3）sin5x(4)tan3x

limlim

x0

5x

x0

x

lim

x0

2x

lim

x0

x

2.5.2两个重要极限（第二课时）

————新浪微博：月牙LHZ

一、教学目标 1.理解重要极限公式。

2.运用重要极限公式求解函数的极限。

二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。难点：多种变形的应用。

三、教学过程

1、复习导入：

本节课我们学习一个重要的极限公式。首先我们一起复习一下指数运算。(1)ab(2)(3)

a

n

ab

n

nn

m

nm

aa

a

nm

a

n



m2、掌握重要极限公式

lim(1

x

1x)

x

e3、典型例题 【例1】 lim解：lim(1x

2x

x

(1

2x)

x

1x

2x)lim[(1

x

x)2][lim(1

x

1x2

x)2]e

（构造法）

(1x)x 【例2】limx0

1z

1xz

解：lim(1x)

x0

x

lim(1

1z)e（换元法）

z

（推导公式：lim(1x)x

x0

e）

【例3】 lim解：lim

x

x

(1

x

1x)

x

1x)

x

(1

1x)lim[(1

x

]



1[lim(1

x

1x)

x

]

1

e

1



1e

（构造法）

【例4】 lim（x

xx1)

x

11

1x)lim

x

解：lim（x

xx1)lim（x

x

11

1

x

x

x



1e

（构造法）

4、强化练习（1）lim(1

x

5x)

x

(1x)x（3）lim（2）lim

x05x

1x

5x

x

(1

2x)

x

(4)lim（x

2xx

1)

x

(1解：（1）limx)lim[(1

x

x)5][lim(1

x

1x5

x)5]e

（2）lim(1x)x

x0(3)lim(1

x

lim(1x)xx0



lim(1x)x

x0

1z

lim(1)

zz

x

2e

2x)lim[(1

x

x

1x2)



x2

]

2

[lim(1

x

1x2)]

2

e

2



1e

(4)

2xx)1x

2

lim1xx1

lim1xx

x

lim[(1

x

1x2

x)]

[lim(1

x

1x2

x)]

lim（x

x2x1

1)lim（x

x

x



1

e



e



e

e

e

四、小结:

本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从

而求得极限。

五、布置作业:（1）lim(1

x

3x)

x

（2）lim(12x)x（3）lim

x0

x

(1

1x)

2x

(4)lim

x

（x3x1)

x