北大版高等数学第一章 函数及极限答案 习题1.3_高数极限习题及答案

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习题1.3

1.设xn

nn2

(n1,2,),证明limxn1,即对于任意0,求出正整数N,使得

n

当nN时有 |xn-1|,并填下表:

n

1|

2n2

,只需n

22,取

证0,不妨设1,要使|xn-1||N

n2

2

2,则当nN时,就有|xn-1|.

n

n

2.设limanl,证明lim|an||l|.证0,N,使得当nN时,|anl|,此时||an||l|||anl|,故lim|an||l|.n

3.设{an}有极限l,证明

(1)存在一个自然数N,nN|an||l|1;

(2){an}是一个有界数列,即存在一个常数M,使得|an|M(n12,).证(1)对于1,N,使得当nN时,|anl|1,此时|an||anll||anl||l||l|1.(2)令Mmax{|l|1,|a1|,,|aN|},则|an|M(n12,).4.用-N说法证明下列各极限式:

(1)lim

n

3n12n3



;(2)lim

n

n1

0;

(3)limnq0(|q|1);(4)lim

n

n

2n

n!n

n

0;

111(5)lim1;n1223(n1)n11(6)lim0.3/23/2n(n1)(2n)证(1)>0,不妨设

,要使

3n12n3

32

112(2n3)

,只需n

112

3,取N

3n133n1311

3,当nN时,,故lim.2n2n32n322

(2)>0,要使

,由于



只需

,n



3,1

取N

3(3)|q||nq|

n

,当

nN时1

.1n

(0).n4



1n124n

n

n(n1)

(1)6n

n



n(n1)(n2)



}.

3n



(n1)(n2)n!n

n

,n1.

,Nmax{4,243

(4)

1n

,n

,N

111(5)1

(n1)n1223

111111111

1,n,N

n(n1)n1223



.

(6)

1(n1)

n

3/2



1(2n)

3/2



n(n1)

3/2



,n

,N

12.

5.设liman0,{bn}是有界数列,即存在常数M,使得|bn|M(n1,2,),证

明limanbn0.n

证0,正整数 N,使得

|an|故limanbn0.n



M,|anbn||an||bn|



M

M,6.证明lim

n

1.证0,要使1|n(1)

n

1,只需

n(1)

n

1.4n

而

1n

nn(n1)





(n1)



4n,只需1,n

,N

4

2.

7.求下列各极限的值:(1)limn

lim

n

0.22

(2)lim

n

n3n1004nn2(2n10)nn

lim

n

13/n100/n41/n2/n



.(3)lim

n

lim

n

(210/n)11/n

n

16.2

1

(4)lim1

nn

2n

1

lim1

nn

e.2

11

(5)lim1limn1

nnn11

11

n1n1

1

lim1nn11

(6)lim1

nn

n

n

n

n1



1

lim1nn1

n

n

1e

.111

lim1,取q(,1),N,当nN时,1qnnen

11

10,即lim1nnn

n

n

n

n

n

1nn

01q,limq0,lim

nnn

n

n

n

0.1111

(7)lim12lim1lim1e1.nnnnnne

8.利用单调有界序列有极限证明下列序列极限的存在性:(1)xnxn1(2)xn

11112121



1n,xn1xn2

121

n

1(n1)

xn,

1(n1)n1

1n

2.xn单调增加有上界，故有极限.,xn1xn

n1



21



1

xn,1n

111111111.xn2n12n12222222211

2xn单调增加有上界，故有极限.(3)xn

1n1



1n2



1nn

.xn1xn

12n2



1n1



12n2

0,xn1xn,xn0,xn单调减少有下界，故有极限.(4)xn11

12!

1n!

.xn1xn

1(n1)!

0,111111

xn2133.223nn1nxn单调增加有上界，故有极限.11

9.证明e=lim11.n2!n!

11n(n1)1n(n1)(nk1)1

证11n2k

nn2!nk!n

n(n1)(nn1)1

n!

n

n

n

2

1111k111n1111112!nk!nnn!nn1

n

11111.elim1lim11.nn2!n!n2!n!对于固定的正整数k,由上式,当nk时,11111k112111,n2!nk!nn

11

令n得e11,2!k!

1111

elim11lim11n.k2!k!2!n!

10.设满足下列条件:|xn1|k|xn|,n1,2,,其中是小于1的正数.证明limxn0.n

n

n1

证由|xn1|k|xn|k|xn1|k|x1|0(n),得limxn0.n