两个重要的极限（推荐）_极限两个重要极限

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《数学分析》教案

§４ 两个重要的极限

教学目的：掌握两个重要极限，并能熟练应用。

教学要求：掌握两个重要极限，牢记结论；掌握证明的基本思路和方法，并能灵活运用。教学重点：两个重要极限的证明及运用。

教学难点：两个重要极限的证明及运用。

教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。

教学程序：

一关于函数极限的性质

１）性质１－性质４常用于说明函数极限的一些性质。

例１． 设f(x)0，limf(x)

A，证明：limxx0xx0例２． 设limf(x)A，limg(x)B.（1）若在某U0(x0)内有f(x)g(x)，问是否有AB？xx0xx0

为什么？（2）证明：若AB，则在某U0(x0)内有f(x)g(x).２）性质５－性质６（迫敛性、四则运算）常用于计算。

x21x2121Ｐ51： １:（１）lim2(sinxcosxx)2；（２）lim2；（３）lim2；

x0x122xx12xx13x22

2(3x6)70(8x5)203708204（６）（８）lim.；9090xx(5x1)53２: limxsinx0.xx2

4sinx1.例 limx0x

二、关于归结原则(Heine定理)

１． 定理的内容:

２． 定理的意义:

３． 定理的用途:

１）说明极限不存在，如limsinx01的极限不存在； x

２）利用数列极限的性质证明函数极限的性质。

例１． 证明函数极限的唯一性。

例２． 证明函数极限四则运算。

例３． 证明单调有界定理。

３）利用函数极限求数列极限。

例４．

例５． limnsinn1.nlim(1n112).nn

４． 归结原则有不同的叙述（在不同的极限形式下），要注意灵活应用。

三、关于单调有界定理

１． 内容。

２． 意义。

四、关于Cauchy准则

１． 内容

２． 意义

３． 用途：

１）证明limf(x)存在； x

２）证明limf(x)不存在。如limsinxx1。x

证明中用到归结原则，数列极限的Cauchy准则。

§４ 两个重要的极限

sinx1的证明 x0x

sinx1的应用 二 limx0x

sinx例１． 求lim.xx

1cosx例２． 求lim.x0x2一 lim

limnsin1，直接利用limsinx1是不严格的；注：利用归结原则，可求数列极限。如求limx0nn1xn

n

sinx，1故取xn,(n1,2,，)但已知li则xn0(n)，从而由归结原则x0xn

1sin0.limf(xn)limnnn

tgx例３． 求lim.x0xsin

11三 证明lim1e或lim1e.0xxx

四 应用

例１． 求lim12xx0

x1x.例２． 求lim1x.x0

例３． 求lim(1n11n2).nn

练习：Ｐ３９ ４ (1

1n)为递增数列。n1

nＰ３９ ９ (1)n1为为递减数列。

Ｐ５５ ２ 设f为定义在[a,)上的增（减）函数，证明：limf(x)存在f在[a,)上x

有上（下）界。