极限的概念_极限概念

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2-1极限的概念

（1）x口

nlimf（x）的读法，直观含义 xR,nN

f(x)f(x)(x口）

limf(x)limf(x)与xlimf(x)limf(x)当x口x口（2）收敛或极限存在：x口（3）无穷小：x口limf(x)Alimf(x)0，无穷大：x口

极限不存在（4）xx

极限

（5）xx0limf(x)f(x0)0、xxlimf(x)f(x0)0 称为f(x)在点x的左、右limf(x)f(x0)f(x0)；

。x

2-2 函数的连续性 limf(x)f()f()

x(1)定义：f(x)在点0连续 xxlimf(x)f(x0)

当 f(x)在区间 I 上连续 f(x)在 I 上的每一点都连续。

(2)初等函数都是连续的。另外，连续函数的和、差、积、商以及它们的复合函数也都是连续的。

x口（3）有等式

2-3 基本初等函数在开区间端点的极限值

（1）常C=C limf((x))f连续时x口f(lim(x))

（2）幂(0)

正0，()正(),(0)负,()负0；（3）指e

（4）对,e0ln0,ln()

（5）三sin()、cos()不存在arctan()(

2)

（6）反，arccot()0,arccot(-).

2-4 各类函数做四则运算后的极限（注意符号 “”= “存在”）

(1)(或`x)，(非0)，(0的)；

（非不）不；（2）(不）不，非0不不，1

101（3），0，∞×a（a≠0）=∞，∞×∞=∞，∞+a=∞

（±∞）+（±∞）= ∞；

（4）0有界=0，∞+有界=∞ ；

000，0,,以及1,0,(5)不定式：0 ；

0（不）（6）不定式： 不(或``）不。

2-5 洛必达法则

lim

f(x)g(x)

limx口当代值结果为“00时 2xx2

例2—1 求 极限x2x2

分析：此题属于极限计算类题型，由题型3-1所示，只需（1）代值，（2）定型 0

“0”，（3）洛必达法则，（4）再代值，(5)定式结束。即可。

lim2xx2

解：x2x2“00lim(2x)x

(x2)xx2x2= x2lim2ln22x1x=2ln2224ln24

例2-2求极限x0limxlnx

分析：由题型

“”21，第一步，代值，xlnx0ln00;第二步，变形为0“0”或后用洛必达法则，由题型22(2)

有两种变形方法：

xlnxxlnx

①ln1x②xlnx1

x

(ln)'由题型

(12)'2(2)的解释：变形要有利于洛必达法则的求导运算。应算，不应算ln。所以要选上面②的变形方法，最后用洛必达法则，再代值即可得定式结果（注：如选①的变形方法，用洛必达法则，将越算越繁，得不出结果）。

解:

x0limxlnx “0”

x0 x'limlnx

“

”lim(lnx)xx

x1x2x0x0lim

x'lim(x)x0

=0