极限存在准则,两个重要极限_极限两个准则

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西南石油大学《高等数学》专升本讲义

极限存在准则 两个重要极限

【教学目的】

1、了解函数和数列的极限存在准则；

2、掌握两个常用的不等式；

3、会用两个重要极限求极限。

【教学内容】

1、夹逼准则；

2、单调有界准则；

3、两个重要极限。

【重点难点】

重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。

【授课内容】

引入：考虑下面几个数列的极限

10001、limni

1n1ni1

ni221000个0相加，极限等于0。

2、limni1无穷多个“0”相加，极限不能确定。

3、lim

xn，其中xn=n

x1=

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：

一、极限存在准则

1.夹逼准则

准则Ⅰ如果数列xn,yn及zn满足下列条件:

(1)ynxnzn

n(n1,2,3)n(2)limyna,limzna,n 那么数列xn的极限存在, 且limxna.证：yna,zna,0,N10,N20,使得

当nN1时恒有yna, 当nN2时恒有zna,取N=max{N1,N2},上两式同时成立,即ayna, azna, 当n>N时，恒有 aynxnzna,即xna成立, limxna.n

上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 准则Ⅰ′ 如果当xU(x0,)(或xM)时,有

o

(1)g(x)f(x)h(x),(2)limg(x)A,limh(x)A,xx0(x)

xx0(x)

那么limf(x)存在, 且等于A.xx0(x)

准则 和准则 '称为夹逼准则。

【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。

例

1求n

+

++

解：

n

11n

++

n

lin

1,又lim

n

nnn

lim 1,lin

n1



1n

2由夹逼定理得：lim（n

1n1



1n2



1nn)1.【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用

2.单调有界准则

准则Ⅱ单调有界数列必有极限.加的；如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。

几何解释:

如果数列xn满足条件x1x2x3xnxn1，就称数列xn是单调增

例2

证明数列xn=【分析】已知xn1

23nn1

A

n重根式）的极限存在2xn，x12，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是

n

单调的，从而得出结论

证：

1、证明极限存在 a)证明有上界

x12，设xnxn12，则xn12xn2

2所以对任意的n，有xn2 b)证明单调上升

xn1xn2xnxnxnxnxn2xnxnxnxnxn0

所以limxn存在n

2、求极限

设limxnl，则l

n

2l，解得l2（l1舍去）

所以limxn=

2n

二、两个重要极限

1.lim

sinx



1x0x

如右图所示，设单位圆O,圆心角AOBx,(0x

)，作单位圆的切线，得ACO.扇形OAB的圆心角为x,OAB的高为BD,于是有sinxBD,x弧AB,tanxAC,sinx

1,上式对于x0也成立.sinxxtanx, 即cosxx2xx2x

2当0x时,0cosx1cosx 2sin,2()

2222



sinxx2

1.lim0, lim(1cosx)0,limcosx1, 又lim11, lim

x0x0x0x0x02x

例3求下列极限（1）lim

1-cosx

.x®0x2

2sin2

解：原极限=lim

x®0

xxx

sin2sin

1lim()2 112 1.1lim

222x0(x)22x0xx2

（2）limxsin

x

x

解：原极限=lim

1siny

=1（令y=）

y0xy

（3）lim

x

sinx x

解：原极限=lim

sin(x)1； xx

1x1n

2.lim(1)e，lim(1x)xe，lim(1)e；“1”型

xnx0xn

【说明】

（1）上述三种形式也可统一为模型lim1x

(x)0

(x)

e

（2）第二个重要极限解决的对象是1型未定式。例如，lim2x

x1

2x1



lim1x1x1e2 x1

例4求下列极限（1）lim(1-x

1x).x

x

解：原极限=lim[(1+

1-x-1

] lim

x-x

.xe(1)

x

x2

（2）lim

xx3

5解：原极限=lim1xx3



x



x35x

5x

3=e

5xxx3lim

=e



5【补充】“1”型计算公式：lim1f(x)

xx0

g(x)

e

xx0

limg(x)f(x)

其中xx0时，f(x)0,g(x)。

证明：lim1f(x)

xx0

g(x)

limeg(x)In1f(x)exx0

xx0

limg(x)In1f(x)

e

xx0

limg(x)f(x)

例5求下列极限

（1）lim(1tanxsinx)

x0

x

【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式

x



解：lim(1tanxsinx)=e

x0

1x

tanxsinxx0xlim

=e

sinx(1cosx)

x0xcosxlim

=e

x3

x02xlim

=1

（2）lim(cosxsinx)

x0

【分析】是幂指函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式。

21

2x

12x

sin2xx02xlim



解：原极限lim(cosxsinx)

x0

lim(1sin2x)

x0

ee。

（3）lim（x

x2x)x3





【分析】是幂指数函数，“1”型，考虑用“1”型计算公式，但它不是标准型，通过“加1减1”变成标准型。

5xxlim

lim(1)=ex3e5 解：原极限=xx3

【思考题1】设有k个正数a1，a2，„，ak，令a=max{a1，a2，„，an}，求

nn

（“大数优先”准则）。lima1na2ak

nn

ana1na2akananankanka

5x

n

解：a

nnn

而limkaa，所以由夹逼准则：limna1a2aka n

n

【思考题2】设x00，xn1

(xn)，求limxn

n2xn

212

2，所以数列{xn}有下界。(xn)xnxn2xn

解：显然 xn0。因为xn1

121xn2xn

又因为xn1xn(xn)xn0，所以数列{xn}单调下降，即

2xnxn22xn

n

limxn存在。设limxn=l，则l

n

(l)，解得l2，所以limxn=2

n2l

【思考题3】求limcos

n

xxx

cos2cosn； 222

解：原极限=lim

n

sinx2nsin

x

2n

lim

sinx

1(x0)

nx

【思考题4】求极限lim39

x



x

1xx

解：lim39

x



x

1xx

lim9

x

1xx

11

x1 9lim1x

x33

x

3x



13x

9e9

n

【课堂练习】求 lim

i

n

2

in

ni。

1

解：

n(n1)212n

n2nnn2nnn2nnn2

nn

?

12n2+n+1n2+n+2++n

n2+n+n

?

12nn(n+n2+n+1

n2+n+1++n2+n+1=1)2

n2

+n+1

而n(n1)21n(nlimn2nn2，limn1)2nn2n112

所以 原极限1

【内容小结】 o1、夹逼准则

当

xU(x0,)时，有

f(x)g(x)h(x)xlimxf(x)A=limh(x)，则lim0

xx0

xxg(x)A。

2、单调有界准则

（1）单调上升有上界的数列，极限一定存在；（2）单调下降有下界的数列，极限一定存在。

3、两个重要极限（1）lim

sinx

x0x

1

(x为弧度）；

（2）lim(111

x)x

e，limx0(1x)xxe

且，