直角拐脖问题(张惠良)_直角转弯的多个技巧
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直角拐脖的接口问题
——关于正弦函数图象和性质的一个应用
江苏省太仓高级中学（215400）张惠良
在日常生活和生产中，我们常常见到图形管道需要作直角形转弯。管子弯头，就是今天我们要研究的问题。
问题1：如何由一根管子做成一个直角形状的接口？
教师首先让每个学生小组（4人一小组）拿出准备好的粗一些的硬纸管，并思考上述问题1。各小组学生经过几分钟探讨后，提出如下观点：如果用平面在两个筒上各截出一个45゜的截面，问题就可以解决。这时，不少学生已经按耐不住、跃跃欲试，拿出准备好的钢锯、剪刀一试身手。当他们顺利地将切口完成好直角形状的对接后，学生们都喜形于色。
问题2：如何直接在材料上进行放样？
正当学生沉浸在成功的喜悦时，教师再次提问：铁匠师傅用铁皮打造烟囱的“拐脖”，是将铁皮打造成一根管子后再锯，还是直接在铁皮上放样？学生认为应该是直接在铁皮上放样。教师又提问：如何直接在材料上进行放样？这可真难倒了在座的学生，这时教师指出：技术熟练的技工凭经验先在铁皮上画样，尔后将相对的直边弥合弯成筒状，两个这样的筒将斜面弥合便成形。但是这样做常常要对曲线进行修剪，才能使拐脖恰成直角且吻合得恰倒好处，材料的浪费经常是难免的。能不能准确地在板材上放样呢？这就取决于对曲线的性质的研究。于是，就有了下面的问题。
问题3：这到底是条什么曲线呢？
学生议论纷纷，有的学生就提出：何不将刚才做好的带斜面的圆筒沿一条直线剪开铺平后，再看看到底是什么曲线？这位学生的意见赢得了大家的认同，于是每个小组的4位学生又忙乎起来，教师也将铺平后的这条曲线画在黑板上，让学生仔细观察。教师引导学生思考：这条曲线是我们学过的一种曲线。在此提示下，有的学生猜想是圆弧与圆弧的连接，也有的认为是抛物线弧与抛物线弧的连接，这时，不少学生争论起来，可谁也说服不了谁，他们就请老师来裁决。可教师也不作正面回答，只是淡淡地说：“中国不是有句古话，是骡子还是马，不妨牵出来溜溜。我想你们会理解这句话的含义的。”学生随后就明白了，何不用纸片照此（圆弧、抛物线弧）仿样、制作，看接口是否吻合，然而效果很不尽如人意，因而答案也就否定了。正当大多数学生苦思旻想之际，有一位学生道出了答案：其实这就是我们刚学过的正弦曲线。大家针对曲线看了又看，感到它确实像正弦曲线。学生再通过放样又取得了成功，大家沉浸于发现的快乐之中。
问题4：你能证明上述结论吗？
对于“圆柱形斜口展开后的边界是正弦曲线”这一结论，结合有关图形引导学生给予证明。
建立如图所示的直角坐标系，设p(x,y)是圆柱形斜口上任意一点，过p点作PE⊥圆O’所在的平面，垂足为E，作EF⊥CD，垂足为F。
则 CE = x , PE = y ∴∠CO’E = x / R，其中R是圆柱底面圆的半径。∴EF =R sin x / R
而∠PEF = 45゜，∴ PE = EF。∴y = R sin x / R 所以圆柱形斜口展开后的边界是一条正弦曲线。
问题5：通过本次研究活动，你有什么感想与体会？
学生1：动手做一些有意义的实验制作，比单纯做几个题目更有意思。注：教学本身就是一种活动。教一个活动最好方法是演示，学一个活动的最好方法是做。
学生2：这一节课使我最难忘的是享受到了成功体验的乐趣。注：这种以教师引导学生动手实践、自主探索的教学方法，能使学生在“教、学、做合一”中尝试由探索自然奥秘带来的成功喜悦，以达到激发学生的创造因素，培养他们的创造精神为目的。
学生3：我觉得一开始的截出45゜的切口，干脆将纸包在胡萝卜上，然后直接用刀到切更方便。
注：应当鼓励学生有自己的想法，敢想、敢做才能有所创造。我们从科学史中不难发现，几乎所有的科学巨匠都有很鲜明的个性和带有个性色彩的智慧。
学生4：这种研究活动使我学会了思考，学会了如何从实际生活中发现问题和解决问题? 注：有意识地、经常地引导学生把所学的抽象知识与生活生产实际联系起来，使学生看到数学的力量，思考的价值，看到数学理论来源于实际，又转过来为实际服务的真理，这对激发学生的学习兴趣，增强他们的求知欲，有着极其重大的作用。
学生5：今天我们研究的直角拐脖在实际生活 中确定较多，但更多的似乎是如下形状的直角拐脖。
注：数学知识源于自然，因认识、解释、利用 和改造自然的需要而存在，并有利于在利用、改造
自然的过程中得以发展和完善，在教学过程中应该让学生学会用所学知识解释自然现象、分析实际问题。学生在原问题研究的基础上，提出了新的问题，引发了新的思索，这是一个可喜的现象。教师针对学生提出的新型直角拐脖，建议学生课外继续研究。
最后布置有关作业
1、将课上的“直角拐脖接口问题”作一些整理，就某一具体的方面写一篇小论文。
2、设计几组不同直径的“直角拐脖”放样纸板，用于具体的实际生活中。
3、写一篇具有创新意义的“直角拐脖接口问题”的再研究这类小论文。以上三题，任选一题即可。
附：学生课后研究小论文
1、烟囱拐脖的制作
烟囱拐弯的地方，必须有一个烟囱拐脖。烟囱拐脖是由两个斜截圆柱面组成的。我们沿着斜截圆柱面的一条母线MN把它剪开摊平，可以看见截口就是一条正弦曲线。
我们选择不同位置的母线作剪开线，可以得到不同形状的正弦曲线。但是，不管它的形状怎样不同，它门都是一个 周期的正弦曲线。
要是让你动手制作一个烟囱拐脖，你要先量准烟筒的直径；看一看接口处的情况；然后根据铁皮的大小，选用一个周期的正弦曲线，把它画在铁皮上，沿着画好的正弦曲线剪下来，围成一个圆柱面，就可以得到一个斜截圆柱面。用两个同样的斜截面对接起来，就成了一个烟筒拐脖了。
具体过程见下图所示：
要注意的一点：斜截平面和水平面 的夹角必须是45゜，才能保证拐脖是直 角，否则拐脖就要拐成别的角度了。怎 样使这个夹角是直角呢？让正弦曲线振 幅的二倍等于烟筒的直径长就行了。
2．虾米腰拐脖如果你到工厂或者医院去，可能看到一种直径比较粗的排气管。即使你足不出户，在家庭的脱排油烟机、燃气热水器也能看 到这样的排气管。这种排气管的拐脖，形状和一般 烟囱的拐脖不一样，它不是直接拐成一个直角，而 是逐渐拐弯的。人们形象地把这种拐脖叫做“虾米 腰”。也许最初设计这种拐脖，真是从虾米的腰部构 造得到启示。
把拐脖做成虾米腰，可以使排气的速度比较快。如果拐脖是直接做成直角的，一部分气流会迎面撞到拐脖的内壁，结果会被顶回来，这就会使气流不能顺利通过。如果把拐脖做成了虾米腰，气流就会沿着曲线的方向逐渐拐弯，比较通畅地流出去了；同时对拐脖的内壁的撞击力也比较小，可以延长拐脖的使用寿命。
虾米腰是一节套一节弯成的。要是我们 展开其中一节，可以看到他是由一上一下两 条对称的正弦曲线组成。
工人师傅制作这种虾米腰，不但要考虑怎 样画正弦曲线，才能使拐脖对接得好，拐弯拐 得好，还要考虑如何节约原材料。像右下图那 样来使用材料，四周都没用了，那就要造成很 大浪费。工人师傅采用了一种叫做鱼形下料的 方法，可以节约大量的材料。按着这种下料方 法，画出来的虾米腰，每一节的样子都像一条 鱼，这一条一条由正弦曲线组成的鱼排列起来，严丝合缝，一点空隙也没有，没用的部分就大 为减少了。从图中可以看出，鱼画的越多越省 料。真是实践出真知，工人师傅把正弦曲线的 形状琢磨透了。参考文献：
1．李毓佩著.奇妙的曲线，中国少年儿童出版社，1979，2 2．张思明著.中学数学建模教学的实践与探索，北京教育出版社，1998 3．田中.实现数学素质教育目标重在教学设计（下），数学通报，2002，3 4
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