高分子物理典型计算题汇总_高分子物理典型计算题

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四、计算题

1、某碳链聚α-烯烃，平均分子量为M1000M0(M0为链节分子量，试计算以下各项数值：（1）完全伸直时大分子链的理论长度；（2）若为全反式构象时链的长度；（3）看作Gau链时的均方末端距；（4）看作自由旋转链时的均方末端距；（5）当内旋转受阻时（受阻函数cos0.438）的均方末端距；（6）说明为什么高分子链在自然状态下总是卷曲的，并指出此种聚合物的弹性限度。

解：设此高分子链为—（—CH2—CHX—）n—，键长l=0.154nm,键角θ=109.5。

(1)Lmaxnl2((2)L反式nlsin21000M0)0.154308nmM020000.154sin109.5251.5nm22(3)h0nl220000.154247.35nm21cos94.86nm21cos1cos1cos11/310.438(5)h2nl220000.1542242.7nm21cos1cos11/310.438(4)hf,rnl22或(h2)1/215.6nm(6)因为LmaxL反式(h2)1/2,所以大分子链处于自然状态下是卷曲的,它的理论弹性限度是L反式/(hf,r)25倍.2、假定聚乙烯的聚合度2000，键角为109.5°，求伸直链的长度lmax与自由旋转链的根均方末端距之比值，并由分子运动观点解释某些高分子材料在外力作用下可以产生很大形变的原因。

解：对于聚乙烯链Lmax=（2/3）nl

(hf,r)

N=2×2000=4000（严格来说应为3999）

所以 Lmax/(hf,r)21/21/

2221/22nl

n/34000/336.5

可见，高分子链在一般情况下是相当卷曲的，在外力作用下链段运动的结果是使分子趋于伸展。于是在外力作用下某些高分子材料可以产生很大形变，理论上，聚合度为2000 的聚乙烯完全伸展可产生36.5倍形变。

注意：公式中的n为键数，而不是聚合度，本题中n为4000，而不是2000。

3、计算相对分子质量为106的线形聚苯乙烯分子的均方根末端距。（1）假定链自由取向（即自由结合）；（2）假定在一定锥角上自由旋转。解：n=2×106/104=19231 l=0.154nm(1)hf,jnl192310.154(hf,j)(2)hf,jnl4、（1）计算相对分子质量为280000的线形聚乙烯分子的自由旋转链的均方末端距。键长为0.154nm，键角为109.5°；（2）用光散射法测得在θ溶剂中上述样品的链均方根末端距为56.7nm，计算刚性比值；（3）由自由旋转链的均方末端距求均方旋转半径。解：（1）hf,r2nl22100001.54949(nm)

（2）(h0/hf,r)（3）s

5、计算M=250000g/mol的聚乙烯链的均方根末端距，假定为等效自由结合链，链段长为18.5个C—C键。

解：每个CH2基团的相对分子质量为14g/mol，因而链段数

ne=2.5×10/(14×18.5)=9.65×10

链段长le=18.5bsinθ/2

式中θ=109.5°,b=0.154nm

2所以le=2.33nm，hlene72.4nm

5222221/2ln21.4nm

221cos22nl2(hf,r)1/2l2n30.2nm

1cos2222221/21.84

212h158nm2 66、已知顺式聚异戊二烯每个单体单元的长度是0.46nm，而且h16.2n（其中n为单体单元数目）。问这个大分子统计上的等效自由结合链的链段数和链段长度。解：因为h2nele222，Lmaxnele，联立此两方程，并解二元一次方程得 leh2/Lmax

neLmax/h因为 Lmax0.46n，(0.46n)20.013n所以ne16.2,le16.2n/(0.46n)0.352nm7、试从下列高聚物的链节结构，定性判断分子链的柔性或刚性，并分析原因。

解：（1）柔性。因为两个对称的侧甲基使主链间距离增大，链间作用力减弱，内旋转位垒降低。（2）刚性。因为分子间有强的氢键，分子间作用力大，内旋转位垒高。（3）刚性。因为侧基极性大，分子间作用力大，内旋转位垒高。（4）刚性。因为主链上有苯环，内旋转较困难。（5）刚性。因为侧基体积大，妨碍内旋转，而且主链与侧链形成了大π键共轭体系，使链僵硬。

8、由文献查得涤纶树脂的密度ρc=1.50×10kg/m, ρa=1.335×10kg/m,内聚能△E=66.67kJ/mol(单元)。今有一块1.42×2.96×0.51×10m的涤纶试样，质量为2.92×10kg，试由以上数据计算：（1）涤纶树脂试样的密度和结晶度；（2）涤纶树脂的内聚能密度。-

3-63

3m2.9210333解：（1）密度1.36210(kg/m)6V(1.422.960.51)10fc结晶度v或fcwa1.3621.33521.8%ca1.501.335ac23.3%ca

E66.671033（2）内聚能密度CED=473(J/cm)3VM0[1/(1.36210)]19文献值CED=476J/cm3。

9、已知聚丙烯的熔点Tm=176℃,结构单元熔化热△Hu=8.36kJ/mol，试计算：（1）平均聚合度分别为DP=6、10、30、1000的情况下，由于端链效应引起的Tm下降为多大？（2）若用第二组分和它共聚，且第二组分不进入晶格，试估计第二组分占10%摩尔分数时共聚物的熔点为多少？ 解：（1）112R0 TmTmHuDP式中：T=176℃=449K，R=8。31J/（mol·K），用不同DP值代入公式计算得到 0 Tm，1 = 377K（104℃），降低值176-104=72℃Tm，2 = 403K（130℃），降低值176-130=46℃ Tm，3 = 432K（159℃），降低值176-159=17℃ Tm，4 = 448K（175℃），降低值176-175=1℃

可见，当DP＞1000时，端链效应可以忽略。（2）由于XA =0.9 , XB =0.1 11R0lnXATmTmHu,118.31ln0.9 Tm4498.361000

Tm=428.8K(156℃)

10、有全同立构聚丙烯试样一块，体积为1.42cm×2.96cm×0.51cm，质量为1.94g,试计算其比体积和结晶度.已知非晶态PP的比体积Va=1.174cm/g，完全结晶态PP的比体积

3Vc=1.068cm3/g。

1.422.960.511.105(cm3/g)1.94解：试样的比体积

VV1.1741.105vXca0.651VaVc1.1741.068V

11、试推导用密度法求结晶度的公式fcvca ca式中：ρ为样品密度；ρc为结晶部分密度；ρa为非晶部分密度。

解：VfcVc(1fc)Vafcwww.daodoc.comAkT(211NAkT(2)RT(2)已知0.964，T293KR8.3144107erg/(molK)，并且F/A，1，有下表数据:所以

Mc3.410745、一交联橡胶试片，长2.8cm，宽1.0cm，厚0.2cm，质量0.518g，于25℃时将它拉伸1倍，测定张力为1.0kg，估算试样网链的平均相对分子质量。

解：由橡胶状态方程

因为RTMc(1)，2McRT1(2)f1524.910(kg/m)A0.21104m0.518103925(kg/m3)6V0.212.8102，R8。314J（mol/(K)，T298K9258.3142981(2)8.18(kg/mol)(或8180g/mol)4.910522

所以Mc

5246、将某种硫化天然橡胶在300K进行拉伸，当伸长1倍时的拉力为7.25×10N/m，拉

-63伸过程中试样的泊松比为0.5，根据橡胶弹性理论计算：每10m体积中的网链数；（2）初

-63始弹性模量E0和剪切模量G 0；（3）拉伸时每10m体积的试样放出的热量？

解：（1）根据橡胶状态方程

NkT(12)已知玻耳兹曼常量k1.381023J/K，7.25105N/m2，2，T300K1所以N7.25105[1.381023300(2)]11026(个网链/m3)4(2)剪切模量GNkT((3)拉伸模量因为0.5，所以E3G1.24106N/m212QTS，SNk(23)212所以QNkT(23)2代入N，k，T的数值，得Q4.14107J/m3(负值表明为放热)

47、用1N的力可以使一块橡胶在300K下从2倍伸长到3倍。如果这块橡胶的截面积为1mm2，计算橡胶内单位体积的链数，以及为恢复到2倍伸长所需的温升。

解：

15)7.2510(2)4.14105(N/m2)241 16 NkT(1/2)，FA于是有FNkTA(1/2)对于2，有对于3，有N2.121026m3(A为初始截面积)F2NkTA(21/4)7NkTA/4F3NkTA(31/9)26NkTA/9

F3F2NkTA(26/97/4)1.139NkTA1N如果新的温度为TN，则F326NkTA/97NkTNA/4因而TN(26/9)4/7495.2(K)，温升为195.2K。

48、某硫化橡胶的摩尔质量Mc5000g/mol，密度103kg/m3，现于300K拉伸1倍时，求：（1）回缩应力σ；（2）弹性模量E。解：

McRT1(2)RT1已知Mc5000g/mol，103kg/m3，T300K，2，R8.314J/(molK)1038.3143001则(1)(2)(22)873(kg/m2)或8.5103N/m250002Mc873kg/m2(2)E873kg/m2149、一块理想弹性体，其密度为9.5×10kg/cm，起始平均相对分子质量为10，交联

3后网链相对分子质量为5×10，若无其他交联缺陷，只考虑末端校正，试计算它在室温（300K）时的剪切模量。

解：

352Mc9.510225103GNkT(1)8.314300(1)McMn5103103105RT4.75105(11052)4.310(N/m)510450、某个聚合物的粘弹性行为可以用模量为1010Pa的弹簧与粘度为1012Pa·s的粘壶的串联模型描述。计算突然施加一个1%应变，50s后固体中的应力值。

解：τ=η/E（其中τ为松弛时间，η为粘壶的粘度，E为弹簧的模量），所以τ=100s。σ=σ0exp（-t/τ）=E·exp（-t/100）-2-2其中 =10，t=50s，则σ=10×1010exp（-50/100）=108exp（-0.5）=0.61×108(Pa)251、25℃下进行应力松弛实验，聚合物模量减少至105N/m需要107h。用WLF方程计算100℃下模量减少到同样值需要多久？假设聚合物的Tg是25℃。

解：lgαT =lg（t100℃/ t25℃）=-17.44(100-25)/(51.6+100-25)=-10.33 t100℃/ t25℃= 4.66×10-11，t100℃= 4.66×10-11×107h= 4.66×10-4h 1752、某PS试样其熔体粘度在160℃时为102Pa·s，试用WLF方程计算该样在120℃时的粘度。

解：根据WLF方程lg[η（T）/η（Tg）]=-17.44(T-Tg)/(51.6+T-Tg)(Tg=100℃)当T=160℃, η（T）=102Pa·s，得lgη（Tg）=11.376 又有lg[η（120）/η（Tg）]=-17.44(120-Tg)/(51.6+120-Tg)(Tg=100℃)lgη（120）=6.504 , η（120）=3.19×106Pa·s

53、已知某材料的Tg=100℃，问：根据WLF方程，应怎样移动图8-26中的曲线（即移动因子αT =？）才能获得100℃时的应力-松弛曲线？

解：lgαT =lg（tT/ tTg）=-17.44(T-Tg)/(51.6+T-Tg)=-17.44(150-100)/(51.6+150-100)=8.58 αT =2.6×10-9

254、聚异丁烯（PIB）的应力松弛模量在25℃和测量时间为1h下是3×105N/m，利用它的时-温等效转换曲线估计：（1）在-80℃和测量时间为1h的应力松弛模量为多少？（2）在什么温度下，使测定时间为10-6h，与-80℃和测量时间为1h，所得的模量值相同？

解：（1）由PIB的时-温等效转换曲线图8-27查到，在-80℃和测量时间为1h下，lgE（t）=9，即 E（t）=109N/m。

（2）已知PIB的Tg=75℃，根据题意，应用WLF方程

lg（1/ tTg）=-17.44(193-198)/(51.6+193-198)所以tTg =0.01345h=48s 由题意,在10-6h测得同样的E(t)的温度为T,两种情况下有相同的移动因子lgαT,所以 lg(10-6/1.01345)=-17.44(T-198)/(51.6+T-198), T=214K=-59℃。

1855、25℃时聚苯乙烯的杨氏模量为4.9×105lb/in，泊松比为0.35，问其切变模量和体积模量是多少？（以Pa表示）解：（1）因为E=2G（1+ν），E=4.9×105lb/in，ν=0.35，所以G=4.9×105/2×1.35=1.815(lb/in)lb/in=0.6887×104Pa，G=1.25×109Pa(2)E=3B(1+ν）B=4.9×105/(3×0.3)=5.444×105(lb/in)

292 =(5.444×105×0.4536/0.102)/0.0254=3.75×10N/m56、100lb负荷施加于一试样，这个试样的有效尺寸是：长4in，宽1in，厚0.1in，如

2果材料的杨氏模量是3.5×1010dyn/cm，问加负荷时试样伸长了多少米？

解：σ=100lb/（1×0.1 in）=1000lb/ in=6.895×107dyn/cm

22E=3.5×1010dyn/cm

所以=σ/E=6.895×107/3.5×1010=1.97×10-3

△ l=﹒l=1.97×10-3×4in=7.88×10-3in =2×10-4 m 257、长1m、截面直径为0.002m的钢丝和橡皮筋，分别挂以0.1kg的重物时，各伸长多

22少？设钢丝和橡皮筋的杨氏模量分别为2×1011N/m和1×106N/m。

2解：E=σ/，=△l/l0，σ=0.1kg×9.8m·s-2/π(0.001)2 =31194 N/m 对钢丝 △l=l0·σ /E = 1×31194/(2×1011)=1.56×10-6(m)对橡皮筋△l=l0·σ /E = 1×31194/(1×106)=0.031(m)

58、有一块聚合物试件，其泊松比ν=0.3，当加外力使它伸长率达1%时，则其相应的体积增大多少？当ν=0时又如何？

解：由本体模量定义B=P/（△V/V0）

对于各向同性材料，各种模量之间有E=3B（1-2ν）和P≈（1/3）σ，σ=E 所以△V/V0 = P/B=[（1/3）E]/[E/3（1-2ν）]=（1-2ν） =（1-2×0.3）×0.01=0.004 即体积增大4‰。ν=0时，体积增大为1%。

59、拉伸某试样，给出如下表数据。作应力-应变曲线图，并计算杨氏模量，屈服应力和屈服时的伸长率。这个材料的抗张强度是多少？

解：

所作应力-应变示意图示于图9-9。

2杨氏模量E=5×104lb/in = 3.44×108Pa

2屈服应力σy =1690 lb/in=1.16×107Pa 屈服时的伸长率 y=6×10-2=0.06(即6%)抗张强度σt=1380 lb/in=9.5×106Pa