安徽省暑假作业数学部分难题答案_数学暑假作业本答案

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安徽省暑假作业数学部分难题答案（部分）

P12.第11题：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD 又PD⊥平面ABCD,AC在平面ABCD内 所以PD⊥AC 又PD和BD是平面PDB内的两条相交直线 则由线面垂直的判定定理知： AC⊥平面PDB 又AC在平面PAC内

所以由面面垂直的判定定理可得： 平面PAC⊥PDB.（2）三分之二倍根号三

P15.第8题：如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC。问题补充：

解;取BC中点O，连接OA,OS ∵SA=SB=SC,∠ASB=∠ASC=60° ∴△SAB与△SAC是正三角形 ∴AB=SA=AC △ABC是等腰三角形 ∵O是BC中点 ∴AO⊥BC AO^2=AC^2-OC^2 而∠BSC=90° 则△SBC是等腰直角三角形 ∵O是BC中点 ∴SO=1/2BC=OC SO^2=OC^2 则AO^2+SO^2=AC^2=AS^2 即AO⊥SO 又∵AO⊥BC,SO∩BC=O ∴AO⊥面BSC 而AO∈面ABC ∴平面ABC⊥平面B

9.(题目稍有改动)已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB=12

CD=1，∠BAD=90°，△PAD为正三角形，且面PAD丄面ABCD，异面直线PB与AD所成的角的余弦值为 5，E为PC的中点．

（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；（Ⅱ）求点B到平面PCD的距离；

（Ⅲ）求平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小．考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；点、线、面间的距离计算．专题：综合题．分析：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，先证出BE∥AF，继而可证出BE∥平面PAD（Ⅱ）先证出AB∥面PCD，将点B到平面PCD的距离转化为点A到平面PCD的距离，即为AF的长度．再在△PAD中求解．

（Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，证出∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角，在直角△PCD中求解．解答：解：（Ⅰ）

证明：如图

取PD的中点F，连接EF，AF，由E为PC的中点知：EF∥CD，EF=1 2 CD，又AB∥CD，AB=1 2 CD，所以四边形ABEF为平行四边形，所以

BE∥AF，又BE⊄面PAD，AF⊂面PAD，∴BE∥平面PAD；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，AF⊥PD，面PAD⊥面ABCD，CD⊥AD ∴CD⊥面PAD，又AF⊂面PAD ∴AF⊥CD，且PD∩CD=D ∴AF⊥面PCD 又AB∥CD，∴AB∥面PCD，∴点A到平面PCD的距离AF等于点B到平面PCD的距 离．

取CD的中点G，连接BG，PG由题意知四边形ABCD为矩形，∴∠PBC为异面直线所成的角或其补角．

设正△PAD的边长为a，则在△PBG中易知PB=PG= a2+1，BG=a，∴∠PBG为锐角，由题意得a2+a2+ 1-a2-1 2a a2+1 = 5 5，解得a=2，∴AF= 3

即点B到平面PCD的距离为 3 ．

（Ⅲ）延长CB交DA于H，连接PH，如图

∵AB∥CD，AB=CD=1，PA=AD=2 ∴HA=AD=AP ∴DP⊥H，P又CD⊥面PAD ∴PD 为PC在PAD内的射影 ∴PC⊥HP ∴∠DPC为面PAD与面PBC所成二面角的平面角 在直角△PCD中，tan∠DPC=CD DP =1 ∴∠DPC=45°即平面PAD与平面PBC相交所成的锐二面角的大小为45°．点评：本题考查线面位置关系、点面距的计算、线面角的度量，考查分析解决问题、空间想象、转化、计算的能力与方程思想．