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第五章

数学物理方程和定解条件的导出 5-1 波动方程的定解问题

作业及答案

1.一长为l的均匀细杆，x0端固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长b后静止（在弹性限度内），突然放手任其振动，写出振动方程与定解条件。解： ① 方程：

2usdx2[(xdx)(x)]st2uu(xdx,t)u(x,t)2udx2Y[]Y2dx

txxxYuttuxxa2uxx② 边界条件

u(0,t)0F(t)u(l,t)0xYs③ 初始条件

(t0自由振动)

bu(x,0)x,lut(x,0)0(由比例u(x,0)b得)xl

2.一根均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，垂直于平衡位置作微小的横振动，求其振动方程。

解：应用牛顿定律于纵向及横向。① 纵向。由纵向加速度为零

T(x+dx)cos2T(x)cos1gdx0dTgdx积分

x

T(x)T(0)gdxgx0

T(x)T(0)gxg(lx)② 横向 T(x+dx)sin2T(x)sin1uttdx因sin[Tux]tguxxdx[Tux]xuttdx [Tux]dxuttdxx[Tux]uttx11联立:utt[Tux][g(lx)ux]xxg(lx)uxxgux

3.长为l的弦两端固定，密度为，开始时在xc处受到冲量I作用，写出初始条件。解：1.初始条件

1）初位移，t0时弦来不及振动，故u(x,0)0

2）初速度，在xc段，由动量定理：ΔPFdtI,而动量的变化为

t1t2ΔPmut(x,0)2ut(x,0)，将两式联立，有ut(x,0)在xc段，没有受到外界作用，故ut(x,0)0,I2,xc

xc

4.长为l的均匀细杆，在振动过程中x0端固定，另一端受拉力F0的作用，试写出边界条件（杆的横截面积为S,杨氏模量为Y）.解：我们取(0,)和(l,l)段进行研究，设杆的体密度为，2u对于(0,)段，由牛顿第二定律有：s2pF0

t由胡克定律

pYssux2xuuYst2xux

F0x当0有YsF00

x0即uxx0F0 Ys

xl2uu对于(l,l)段有s2F0Ystx当0有uxxlF0 Ysx0故其边界条件为 uxuxxlF0 Ys5.线密度为长为l的弦，两端固定，在某种介质中作阻尼振动，单位长度的弦所受阻力Fhu，试写出其运动方程。t解：任取(x,xdx)一小段弦进行研究，由牛顿定律在垂直方向有

u2uTxdxsin2Txsin1gdxhdxdx2

tt水平方向有 Txdxcos2Txcos10 我们研究的范围限于微小振动

210,即cos2cos11 亦即TxdxTxT 且sin1tan1uu,sin2tan2xxx

xdxuuu2uTgdxhdxdx2xxttxxdxuu2uT()dxgdxhdxdx2 xxtt2uu2uT2gh2xtt因为g这项很小，可以忽略不计

2uT2uhu所以20 2txt令a2T

22uhu2u故运动方程为：2a0 2txt