考研数学常见疑难知识点精析之《高等数学》三、一元函数积分学_高等数学一元函数积分

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2011考研数学常见疑难知识点精析之

《高等数学》

三、一元函数积分学

万学海文

1．关于不定积分的一些知识

1）、求导数与求不定积分是互逆的．已知一个函数其导数是唯一的，但是其逆运算——求不定积分的结果不是唯一的． dF(x)dxf(x)，而，f(x)dxF(x)C，由于C的不同，导致一个函数的不定积分有很多函数，这些函数之间相差一个常数．

2）、一个函数的不定积分和原函数是两个不同的概念．

如果F'(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，那么函数F(x)就是f(x)的在某个区间上的一个原函数；函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为该函数在某个区间上的不定积分，所以一个函数f(x)的原函数为其不定积分中的一个函数，而其不定积分则是一族函数，它们之间相差一个常数，即，f(x)dxF(x)C

3）、如果函数f(x)在区间上连续，则该函数在该区间上存在原函数；

如果函数f(x)在区间上有第一类间断点，则该函数在该区间上不存在原函数．

1,x0例如，设fx0,x0，则在任意一个包含x0在其内部的区间上，一定不存1,x0在原函数．

这是因为，当x0时xfx，因此当x0时，fx的一切原函数为xC，而在x0处xC不可导，因此在任意一个包含x0在其内部的区间上，xC不可以认为是fx的原函数，所以在这种区间上fx不存在原函数．

4）、奇偶性问题

当函数f(x)为奇函数时，则其全体原函数均为偶函数；

当函数f(x)为偶函数时，则其只有唯一一个原函数为奇函数． 5)、周期函数的原函数不一定是周期函数．如果函数f(x)是以T为周期函数，那么其全体原函数也是以T为周期的充要条件是f(t)dt0．

0T6）、如果分段函数存在原函数，则其原函数一定是连续的． 2．分段函数不定积分

对于分段函数，在对其进行不定积分的时候，要注意在分别求不定积分的时候，最后的常数要统一，从而保证原函数的连续性．

例3.1：设f(x)sin2x,x0ln(2x1),x0，求f(x)的原函数F(x)

12解：（1）当x0时，sin2xdx（2）当x0时，cos2xC1

ln(2x1)dx 1212ln(2x1)d(2x1)12[(2x1)ln(2x1)2(2x1)(2x1)dx]C2

[(2x1)ln(2x1)2x]C2，这时要对两个常数C1,C2进行统一．

C1F(0)112CCCC，（3）x0，所以，取，CC122122limF(x)C2F(0)x0limF(x)1则：

F(x)1212cos2xC(x0)[(2x1)ln(2x1)2x]C12

(x0)3．利用换元法求解不定积分，最后的结果一定要变为原来的积分变量．

例3.2：求dx2x21

x122解：作积分变量变换，令xtanu,则dxsecudu, 原式secudu(2tanu1)tanu1222 (2tansecudu22u1)secu (2tan2sindu2u1)cosu(du2sinucosu221)cosu2sincosudu22ucosucosu2

cosudu2ucosu2sincosudu2u1sindsinu2u1arctan(sinu)C

做到这里并没有完成求解原函数的任务，因为原积分变量为x，这里的最后结果不含x，而是含u，所以不能就此结束，而是要再重新换为原来的积分变量．

sinuarctan(sinu)Ctanu1tanu2arctan(x1x2tanuxx1x2)C

所以，最后的结果应为arctan()C，而并非是arctan(sinu)C．同时这里还要再次强调一下，最后的结果中常数C一定不能忘记． 4．下列两个命题是否正确？

1）如果 f(x)在 a,b上有原函数，那么 f(x)在 a,b上可积； 2）如果 f(x)在 a,b上可积，那么 f(x)在 a,b上一定有原函数.答：两个命题都不正确.先讨论命题1），在 a,b上有原函数的函数 f(x)未必是可积的，12xsin,x02x例如函数F(x)，在 1,1内处处可导，且

0,x01212xsincos,x022xxx，因此f(x)在 1,1上的原函数是F(x).F'(x)f(x)0,x0但 f(x)在 1,1上无界，所以 f(x)在 1,1上不可积.再讨论命题2），在 a,b上可积的函数不一定有原函数.例如符号函数sgnx在 1,1上可积，但x0是它的第一类间断点，我们知道在某区间I上具有第一类间断点的函数在该区间上原函数不存在，所以 sgnx在 1,1上的原函数不存在.5．在什么条件下，牛顿--莱布尼兹公式成立？ 答：如果函数 f(x)在 a,b上连续，则牛顿—莱布尼兹公式成立，此公式也称为微积分基本定理.它把函数 f(x)在区间 a,b上的定积分的计算转化为求 f(x)的原函数在区间 a,b上的增量，使定积分的计算十分方便.当条件不成立时，就不能用此公式.当然，牛顿--莱布尼兹公式成立的条件还可以适当放宽，例如有下面结论：

定理 设 f(x)在 a,b上可积，且原函数 F(x)存在，则

baf(x)dxF(b)F(a)

6．对连续函数而言，奇函数的原函数是偶函数吗？偶函数的原函数是奇函数吗？

答：奇函数的原函数是偶函数，但偶函数的原函数不全是奇函数.7．应用换元法计算定积分应注意哪些问题？

答： 在应用定积分的换元法时，首先要注意选取代换的函数 x(t)必须在[,]上具有连续导数，且有 ()a, 例如，计算积分令x1t1111不满足这些条件的代换将会导致错误的结果.()b，11x1112dx，可得到1x2dx11111t21t2dt1111t2dt

从而，原式为0，结果显然不正确.产生错误的原因在于 x1t在 1,1上不连续.其次，应注意在换元的同时要注意换积分限，即原积分对积分变量x的上、下限要换成新的积分变量t的上、下限.若换元法采用的凑微分法，而没有引进新的积分变量，则不需要换积分限.8．复合函数的变限积分函数，求导时应注意的问题．

设F(x)G(x)b(x)af(t)dt, 则，F'(x)f((x))'(x)，(x)g(t)dt，则，G'(x)g((x))'(x)，这里一定要注意符号问题．

若 H(x)H'(x)(x)(x)xh(t)dt，则此时对该函数求导，要注意积分变量和求导时的变量．

(x)(x)xh(t)dt'x(x)(x)h(t)dt'(x)(x)h(t)dtx(x)(x)h(t)dt'

(x)(x)h(t)dtx[h((x))'(x)h((x))'(x)]

在求导的过程中，是对t求导，所以可以把x看作常数．