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高等数学B(1)课程考试说明

四川电大责任教师

本期高等数学B(1)内容包括函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积

一、函数

本章的重点是理解函数的基本概念和掌握基本初等函数的解析式、定义域、性质及图形。对函数的概念要着重理解定义域和对应关系，能熟练求出函数的定义域和函数值。函数有四种属性：单调性、奇偶性、周期性、有界性，要注意一个函数并不是一定具有上述四种属性或其中之一，而是可能具有。要会判断函数是否具有上述性质，记住这四种属性的图形特点。理解复合函数和初等函数的概念，会把这复合函数分解成较简单函

例1求函数y

1x23ln(x1)

［分析］函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围。一般地是使解析表达式有意义的x的取值，如对数函数中的真数要大于0，分式中分母不为0，偶次根式下的表达式不小于0 解:

x10ln(x1)0x230因此定义域是xx1

x2

x3 3且x2例2

下列函数中，哪些是奇函数，哪些是偶函数?(1)yxsin2x 3axax(a0,a1)（2）y2axax(a0,a1)（3）y2(4)ylnx((5)yxlnxx21)

［分析］根据奇偶函数定义：若f(x)f(x)，则f(x)为偶函数；若f(x)f(x)，则f(x)

解(1)

f(x)(x)3sin(2x)(x)3(sin2x)x3sin2xf(x)

故yx3sin2x

axa(x)(2)f(x)

2axaxf(x)

2axax故 y

axa(x)axax(3)f(x)

22axaxf(x)

2(4)f(x)ln(x(x)1)

ln(xx21)

ln(xx21)(xx21)xx12 ln1xx12

ln(xx21)

f(x)

故f(x)

(5)f(x)xln(x)f(x)(或f(x))

f(x)

注意：既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?存在，只有f(x)0

例3

x22x0y 1x0

arctanxx0求f(1), f(0)，f()，f(1)，f()（a0［分析］求分段函数的函数值,应注意y2解:

f(1)123, f()1 121a

12f(1)arctan(1)4

111f()()2222 aaa

(1)函数y1x1 的定义域为____________ln(3x)

2(2)设函数f(x1)x1，求f(1)，f(x)(3)下列每对函数中，哪一对函数是相等的函数? Af(x)x2,g(x)x

f(x)lnx2,g(x)2lnxx21f(x)x1,g(x)

x1f(x)ln(x1)xln(x1)，g(x) xx2(4)将函数y2sin2x42lnx(5)下列函数中，哪一个是偶函数?

f(x)sin2xcosx

f(x)lnxx2

f(x)ln(x21x)

f(x)eexx

(1)1x3且x2(2)1，x2x2(3)D

s2

(4)f(x)uv,u2,ssint,t2x;

vw,w42p,plnx

二、本章的重点是求极限和理解函数的连续性概念。极限的概念是难点，要知道极限是描述变量变化趋势的概念，是由变量的变化趋势所决定的。函数在一点极限存在的充分必要条件是它在该点的左、右极限存在且相等，与在该点函数是否有定义无关(即存在极限未必有定义)，x21lim2x1x1如f(x)

xxx0在x00x0

无穷小量是一种特殊的且很重要的变量，它有两个很重要的性质，对求极限很有用：①有限个无穷小量之和还是无穷小量；②无穷小量与有界变量乘积仍是无穷小量。要理解无穷小量的概念及其性质，会判断一个变量是否为无穷小量。求极限是重要的计算问题之一，其方法很多，技巧性强，学员应多做练习去掌握。比较基本的方法有以下几种：(1)(2)(3)

sinx11和lim(1)xex0xxx1变量形式及自变量变化趋势。若设tx11tsin

1和

lim(1)te

limtt0tt(4)lim

limsinmx1f(x)m，lim(1)ex0f(x)xf(x)

(5)用洛比塔法则计算(第四章内容)本章的另一个重点是函数的连续性，函数f(x)在一点x0处如①f(x)在x0②f(x)在x0③limf(x)f(x0)

xx0

则称f(x)在x0处连续，否则称x0是f(x)的间断点。会判断函数在一点的连续性、间断点的类型。掌握连续函数的和、差、积、商(分母不为0)仍为连续函数，初等函数在例4

(1)limx0sin3xx112

(2)lim(x2xx)

xx501(3)limx(2x1)30(x1)20

tan(x1)2(4)lim

2x1x11x22x1)（5）lim((xx)sin2x1x1x12

(1)［分析］分子、分母当x0时，同趋于0，先将分母有理化后，再利用重要极限计

解

limx0sin3xx11limx0sin3x(x11)(x21)21limsin3x(x11)

x0x3lim6 sin3xlim(x11)

x03xx0(2)［分析］x时，x22x，不能直接得x22xx0，应有理

解 ：

xlim(x2xx)lim2(x22xx)(x22xx)x2xx2x

limx22xx2x2xx2121x2x

limx(分母、分子同除以x)1

(3)［分析］x时，分子、分母同趋于，由于分子、分母都为x多项式，故分子、分母同除以x解 ： 5050

1150x501xlim lim30203020xx(2x1)(x1)11(2)(1)xx

=(4)

解 ：

1302tan2(x1)sin2(x1)cos2(x1),x21(x1)(x1)

sin(x1)tan(x1)122 lim()lim2x1x1x14x1(x1)cos(x1)2(5)［分析］这是一个和式求极限，第一项消去x1零因子后再计算，第二项利用无穷

解：

1x22x1x22x11lim((xx)sin)limlim(x1)sin x1x1x1x1x1x21x212limx1x100x1

例5

问k

1x0sin(ln)f(x)

x1x0k在x0处连续。

解 ：

limf(x)f(0)

x0limf(x)limsin(lnx0x0x01)x1

limsinln10 故k0时函数f(x)在x0

(1)下列变量哪些是无穷小量?

lnx(xo),②

e

(x),③ e

(x)x1xx)sinx(x0), ⑥ ④

lnx(x1),⑤

(1cos⑦(x1)sin(2)

sinx(x0)x1(x1),⑧ x1

1x1(x1)

(cotx)① lim1x0xx1xlim()xx312x3x1lim(sin(x1)3)xx3xx22limtanxsinx

x0sin3xsinxcosxlim(2)xx1x1⑥ limx(x2arctanx)

⑦ lim(x12xx0)

1x1sin3x(3)13xf(x)(1x)kx0x0

在x0处连续，则k______________

(1)(2)①0，②e，③（３）e 134

2112, ④，⑤，⑥１，⑦e6322

三、本章的重点是理解导数的定义、几何意义及求导数(或微分)。对导数定义要结合导数的导数是微积分中的重要计算问题之一，导数(或微分)基本公式表和四则运算法则是求导(或微分)

(1)(2)复合函数求导法则求导(一阶、二阶)

(3)隐函数微分法(一阶)，注意y是x的复合函数，含y的项求导时一定会产生y′项。(4)参数式表示的函数求导数(一阶)

x(t)y(t)dydydt, 则 dxdxdt(x)(5)幂指函数y(x)例6

(1)y的求导和多个函数相乘除的求导，这是采用对数求导法计算

xsinx1',求yxsin2x2

（2）y2，求 dy

(3)ycos(ln1)，求y'(1)x1(4)设xet2ytt

/

求yx

(5)设yy(x)解：(1)yexy2sin(xy)1确定，求y'

xsinx11sinx1

xxxx1x)'(sinx'1)()' xx故y'（11xcosxsinx12 22xxxxsin2x2(2)dy2xln2(sin2)'dx

2xx1ln22sincosdx

222x

=2sin2x2ln2sin222sinxdx

=2(3)ysin(ln/11')(ln)x1x11x11'sin(ln)()

x11x1(x1)sin(ln11) x1(x1)211sin(ln)x1x111y/(1)sinln

22(4)yt2t'12t,xt'12tet

dydx2t12t12tet4tt1et

(5)方程两边对x2

(xy2)'exy(xy)'cos(xy)0(12yy)e'xy2(yxy')cos(xy)0

(exyycos(xy))' y2yxcos(xy)

(1)下列结论正确的是（）A

(2)函数y2lnx在(1,2)处的切线方程是（）A． yx

1Ｂ． yx1 Ｃ． y

2111

Ｄ． y1 xx

//(3)函数ylncosx，则y（Aysecxtanx

Ｂ． ysecxtanx11

22cosxcosx

x(4)①yarctane,求dy ②求由方程x3y33axy所确定的隐函数y(x)的导数y/③求由参数方程

x1tdy

 t

所确定的函数y(x)的导数ydxt4④y1ln2xesinx，求y/⑤yarcsin(2 lnx)，求y/x ⑥yxcosx，求y/

(1)(2)(3)

exayx2dx,②2(4)①dx,1e2xyax④

8t1 2(t4)lnxx1ln2xesinxcosx

⑤2arcsin(lnx1lnx)22xxxlnx⑥（cosxsinxlnx)xcosx x

四、本章的重点是用导数讨论函数单调性、极值点及极值，讨论凹凸性及拐点，求解极值应

4.1

会用中值定理证明恒等式、不等式、求函数的零点，记住中值定理的条件和结论(罗尔定理、拉格朗日定理)

4.2会用洛必塔法则求“0”或“”型未定式极限，方法是分子、分母各自求导0

4.3判别函数的单调性：设函数yf(x), x(a,b)，掌握f(x)单调的判别方法，即

0,f(x)在(a,b)单调增加 f'(x)0，f(x)在(a,b)单调减少个别孤立的导数为0，不影响其3

如x在(,)上单调，但是y/(0)0除外., y/04.4

设f(x)连续且f/(x0)0或f/(x0)0,x0不是极值点 f/(x0)f/(x0)(其中0）0，x是极值点0 f/(x0)0，则x0f/(x0)0，则x04.设yf(x), x(a,b)，f/(x0)0且f(x)f//(x0)0,f(x)在(a,b)内是的 //f(x)在(a,b)内是的f(x)0,00,(x0,f(x0))不是拐点（其中0）f//(x0)f//(x0)0,(x0,f(x0))是拐点

4.6

(1)设出变量、自变量与因变量(目标函数)(2)

(3)求一阶导数，令y/0(4)

x例7

证明：当x0时，有ex1

［分析1］证明的关键是找到满足中值定理的函数。对本题，令f(x)ex，任取x0，显然f(x)在区间[0,x]上连续，在区间(0,x)

［分析2］用函数的单调性。令f(x)exx1，显然f(x)在x0的区间上连续，可导。

设法证明f/(x)0，当x0时，又x0时，f(x)0。所以x0时，f(x)0。例8

(1)

excosx1lim x0sin2xx1（2）lim(（3）lim11)x1lnxxxxx

（4）limx(x2arctanx)

解:(1)当x0时，分子、分母都0excosx1excosxexsinx1limlim x0x02cos2x2sin2x(2)

lim(x1110lnx(x1))lim(“”)x1(x1)lnxx1lnx0111xxlim

=lim

x1x1x1xlnxx1lnxx11lim x1lnx112(3)“

xlimxxxlim1100x12x11 10(4)0型，化成“

xlimx(2arctanx)lim2xarctanx1x2121x limx12x 例9 求函数yxln(1x)2x1x22x(x1)2y 解:

y1221x21x1x'y的定义域是(,)，且对任意的x,都有y/0，故函数yxln(1x2)在定义域区间(,)内是单调增加的，从而函数yxln(1x)22(1x2)2x2x2(x21)因y 2222(1x)(1x)////当x1时，y0，//当x1时，y0，2故函数yxln(1x)在区间(,1)内是凸的，在(1,)内是凹的。(1,1ln2)是拐点。

例10

设水桶的底半径为r,高为h。水桶水平放置，上方中央(h/2处)有一个小孔, 小孔到水桶底的最远距离是a。试求r及h为何值时，水桶有最大的容积?

解:

设容积为V

(2)2hvr2h

4变量h，rh4r2()2a2从中解出r，代入到Vv h2h(a()2)

v'hh((a2()2)h)422令V′＝０，得h23a

23在h有意义的范围内，只有一个驻点，故为所求。于是当ha

r6a

时，6

(1)下列命题不正确的是（）

f(x00)f(x00)xx0limf(x)

x0处可导，则一定在x0[a,b]上恒有f/(x)0，则f(x)在右端点xb

处达到最大值。(2)函数y(x1)2

1的单调增加区间是_________________

x2y21

内，求使其面积为最大的矩形边长。(3)设一矩形内接于椭圆46(4)把一根长为a的铅丝切成两段，一段围成圆形，另一段围成正方形，问这两段铅丝

(5)讨论yxlnx

(1)(2)x1

(3)提示：设矩形在第一象限内的点为P(x,y)，则矩形面积为S4xy，其中y632x,x2 是S的最大值点，2 当矩形边长分别是22和23(4)提示：设圆周长为x，则正方形周长为ax，其面积之和为

x2ax2)()，24a4a当铅丝长分别是，44s（(5)单调增加区间是(1,)，减少区间是(0,1)，极小值点是x1，极小值是1，在(0,)内是凹的，没有拐点，最小值是1

5.1掌握原函数与不积分是导数(或微分)导F(x)Cf(x)(F/(x))

 F(x)C f(x)积分积分的概念并不难理解，在区间上的函数f(x)和F(x)，只要满足F/(x)f(x)，F(x)就是f(x)的一个原函数，F(x)C就是f(x)的不定积分，即f(x)dxF(x)c

5.2 5.2.1

直接利用积分公式或对被积函数进行恒等变形后再直接用积分公式得到积分结 5.2.2

分第一换元积分法和第二换元积分法，它们是同一个问题从不同方向进行分析而

f(x)dxF(x)c

则括号内的x换成任何可微函数或变量，上式都成立，即

f((x))d(x)F((x))c

实际问题中，上式左端常常是

f((x))(x)dx形式，这就需要将(x)dx

''凑成d(x)，而这一步往往是不易看出来的，而要经过大量练习后方能掌握各种凑微分

无论是第一换元法还是第二换元法，都是为了使被积函数化成基本积分公式的形式，以便得出结果，23x13xdx

12dx

2112d(1x)d(13x)

26因为

xdx122u13xx13xdx(13x)d((13x))（令）63212312

(13x)4c

8第二换元法主要用于去根号，一类是进行三角变换

3xasint,xatant,xasect等；一类是令xnt,xtm。

5.2.3

''分部积分法是uvdxuvuvdx 或udvuvvdu

分部积分主要有三个类型(七种)(1)∫多项式×指数(或正(余)弦)函数×dx

三(角函数)、指(数函数)动，多(项式函数)不动。如计算

xcos2xdx，dxdtgx

所以选vtant，uxcos2x(2)∫多项式函数×对数(或反三角)函数×dx 因为多(项式函数)动，对(数函数)、反(三角函数)不动。如(x1)lnxdx，选dv(x1)dx1d(x1)2,ulnx2(3)∫指数函数×正(余)弦函数×dx

动与不动可任意选择.2x有时需要多次使用分部积分，如xedx

例11

(1)(3x

1x1xsinx)dx

x（2）4dx

2(12x）xx5（3）e(e2)dx

（4）23xdx

（5）1lnxxlnxdx

(6)解:(1)ex2dx

1x3(x1x1xsinx11)dx3xdxdxdxsinxdx xxx3=x32xlnxcosxc 42)由于dx41d(12x)，故 2414=dx(2(12x）(12x)22d(12x))

2=(3)

令te2 xd(12x)（令u12x）2(12x)2c

12xdtexdx16tc 6

5xx5e(e2)dxtdt

=(4)

23xdx1x(e2)c 6123xd(23x)

333212(23x)2c(23x)2c 339(5)由于1dxdlnx

x1lnx11dxdxxlnxxlnxxdx dlnxlnxlnx=ln(lnx)lnxc 11(6)设t，则dt2dx

xx=etx2dxe(dt)

=ecec

例12

(1)

t1x1xex21x2x12dx

（2）1xx12dx

(3)dx

（4）ln(xx21)dx

解:

(1)由于是1x2型，故设xsint，则1x21sin2tcos2tcost，dxcostdt 于是积分sin2tcostdt

dx 2cost1xx22=sintdt =11tsin2tc 24x1x2由三角形知，设sintx，则 cost

11sin2t2sintcost2x1x2

x21x2dx1xarcsitn1x2c 22(2)

由于是x21型，故设xsectx21sec2t1tant

dxtantsectdt

故x1x21dx1tantsectdt

secttant

tc

1c x12(3)设t2x1，x(t1)

2dxtdt，于是

arccose2x1dxettdttdet

tetetc

e(4)2x1(2x11)c

2x2x212

1ln(xx1)dxxln(xx1)x1)222xx1xdx

xln(x(xx21)x(xx1)x122dx

xln(xx21)xdxx12

xln(xx21)x21c

5.3

形如p(x)dxq(y)dy解法：分离变量,例13

y3y'10 , y(1)1

解:

方程变形为 y3y'1 , 分离变量

y3dydx

两端积分得

将y(1)1代入，得C 14yxc 44 5y44x5

练习(1)若f(x）dx5x3c，则f(x)（32

Ａ．5x

Ｂ．15x

Ｃ．15xc

Ｄ．(2)计算下列积分

①(x1)lnxdx

②sin254x 4xdx

x21dx

dx

④③1xx1lnx⑤1xdxdx

⑥1ex12x

21x122⑦4exdx

⑧xcosdx

2x答案

(1)B(2)①

111(x1)2lnxx2xlnxc；

242②2xcosx2sinxc；

③1(x1)2ln(x1)c；

2exc ；

④21lnxc；

⑤lnxe111212x2c；

⑦ex(22)c；

⑥2xx⑧2xsin21xx1x8xcossinc。

22626

定积分及其应用

本章的重点是定积分的计算及其应用(求面积和求体积)6.1

定积分是一个和式的极限，要记住：定积分是一个定值，它与积分变量无关，即

bbf(x)dxf(t)dt

aa常用性质：

abaf(x)dx0；

f(x)dxf(x)dx

aabbcbf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac

aaf(x)dx0，当

aaf(x)f(x)

af(x)dx2f(x)dx

当

0f(x)f(x)

定积分与不定积分是两个不同的概念，牛顿—莱布尼兹公式把它们联系在一起，设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)bf(x)dxF(b)F(a)

a从而解决了定积分的计算问题。因此，不定积分的计算方 法都可以搬到定积分上来。先求处)，有了F(x)，只要再求F(x)在上限与下限值的差即可。不过，这样计算定积分，有时显得繁了些，因此，定积分有换元积分法和分部积分法。注意，“换元必须换限”；当计算熟练以后，用凑微分的方法，又常常不引积分中间变量，也就是不进行变量替换，“不换元决不能换限。”

6.2

微积分基本定理，原函数的存在性为引入牛顿—莱布尼兹公式奠定了基础。求变上限的定积分的导数是重要内容，变上限定积分的导数，等于被积函数在上限处的值。要

设函数f(x)在[a,b]上连续，当x[a,b]时，f(x)在[a,x]上的定积分

xf(x)dxF(x)c(为求定积分，此处的C没有用(x)f(t)dt是变上限x的函数，它是f(x)的一个原函数，a即

(x)f(x)注意：

(x)'(1)(baf(t)dt)'f((x))'(x)dx((x)是可导函数)；

(2)(f(t)dt)f(x)

x'6.3

6.4掌握求平面图形面积和旋转体体积的方法 例13

12x23x51xdx

（２）2(1)dx

02x31x05解: 52x23x52x(x3)3(x3)4dx(1)dx

x3x30055(2x304)dx

x3(x23x4ln(x3))

104ln84ln

3(2)1201x1x2dx=12011x2dx120x1x2dx

=arcsinx(1x2)

=63

12x例14

求下列极限

(1)

limx0x0co2stdtx

（２）limx00arctatdntx2

［分析］这两个极限都是“00解:

(1)limx0x0cos2tdtxcos2xlim1

(用洛比塔法则)x01limarctanx

x02x(2)limx0x0arctantdtx2

=lim1

x02(1x2)

=22例15

求C值，使抛物线yx2x与直线ycx所围成图形的面积是 抛物线yx22x、直线x2c和直线y0所围成图形面积的一半。解:

yx22x交x轴于(0,0)及(2,0)点，它与ycx交于(0,0)及(2+C,C(2+C))点，所以直线x2c过yx22x与ycx(非原点)的交点。

yx22x与ycx所围图形及yx22x，y0，x2c所围图形的面积分别记为A和B2c

A 2(cx2xx)dx

01(c2)3 622(2xx)dx

b2c

=(c2)(c2)13324 3由B＝２Ａ，得(c2)2423，所以c2，33舍去负值，得C＝练习

x232

3(1)极限limx02sintdt0x2 ________________________(2)2dx①

②21xxln202ex1dx

12③xcos2xdx

④x001x2dx

dxdx⑤x

⑥

x220ee1x(1x)1答案

① ln④ 4

② 2

③

322e

⑥ 1

⑤ tan1644