导数在研究不等式中的应用举例_导数在不等式中的应用

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导数在研究不等式中的应用举例

陕西张磊

导数问题和不等式问题相互交织构成了高考试题中的一道亮丽的风景线,常见的题型有四种.基本方法:构造函数,利用导数研究函数的单调性来解或证不等式或求最值研究恒成立问题.1比较两个函数值大小(尤其比较两抽象函数)

(1)设函数f(x), g(x)在(a ,b)上可导,且f′(x)>g′(x),则当a

(A)f(x)> g(x)(B)f(x)+ g(a)> g(x)+ f(a)

(C)f(x)g(x)+ f(b)

解构造函数F(x)= f(x)− g(x),则F′(x)=f′(x)− g′(x)>0 ,故函数F(x)在区间[a ,b]上递增 ,又a

(2)若函数y= f(x)在(0 ,+∞)上可导,且不等式xf′(x)> f(x)恒成立,又常数a ,b满足a>b>0 ,则下列不等式一定成立的是()

(A)bf(a)>af(b)(B)bf(a)bf(b)(A)af(a)

x

2f(a)a>0 , 故函数F(x)= ,即选A f(x)x 在区间(0 ,+∞)上递增,又a>b>0 ,从而

2求解不等式 >f(b)b

(3)设f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0 ,且g(-3)=0,则不等式f(x)g(x)

(A)(−3 ,0)∪(3 ,+∞)(B)(−3 ,0)∪(0 ,3)

(C)(−∞ ,−3)∪(3 ,+∞)(D)(−∞ ,−3)∪(0 ,3)解

构造函数F(x)= f(x)g(x),则F(x)= f(x)g(x)+f(x)g′(x)>0 , 故函数F(x)在R上递增,又f(x), g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数且g(-3)=0结合题意提供的信息作出大致图像如图示,不难得到不等式解集为D 3含参不等式恒成立问题

解不等式恒成立问题的基本思想是把问题转化为求函数的最值或函数的值域的端点问题.利用导数研究不等式恒成立问题,首先要构造函数,利用导数研究函数单调性,求出最值,进而得出相应的含参不等式,从而求得参数的取值范围;也可分离变量构造函数,直接把问题转化为函数最值问题.(4)已知函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线与直线y=2x平行(其中e为自然对数的底数),g(x)=x2−bx−2

①求函数f(x)的解析式

②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,求实数b取值范围.解:①依题, 函数f(x)=axlnx的图像在点(e ,f(e))处的切线的斜率k=2,即f′(e)=2又f′(x)=a(lnx+1),令a(lne+1)=2,得a=1,∴f(x)= xlnx

②对一切x∈(0 ,e],3 f(x)≥g(x)恒成立,∴ 3 xlnx≥x2−bx−2在x∈(0 ,e]上恒成立.即b≥x−3lnx−在x∈(0 ,e]上恒成立,(分离变量法)

x2

令h(x)= x−3lnx−x∈(0 ,e]则h′(x)=

xx−1(x−2)

x2

由h′(x)=0

得x=1或x=2∴x∈(0 ,1)时h′(x)>0h(x)单调递增;x∈(1 ,2)

时h′(x)0 , h(x)单调递增

∴h(x)极大值=h(1)=-1,而h(e)=e−3−2e−1

1故实数b的取值范围为[-1 ,+∞)

(5)已知函数f(x)=ax+−2a(a>0)的图像在点(1 ,f(1))处的xb

切线与直线y=2x+1平行.①求a ,b满足的关系式

②若f(x)≥2lnx在[1 ,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解①f(x)=a−,根据题意f′(1)=a−b=2 ,即b=a−2

x

′

b

② 由①知, f(x)=ax+

a−2x

+2−2a

a−2x

令g(x)= f(x)−2lnx= ax+

则g(1)=0 ,g′(x)=a−当0

a−2x2−aa

+2−2a−2lnx ,x∈[1 ,+∞),2−a

−x

a x−1(x−

>1 若1

2−aa

x2−aa，则g′(x)

)上为减函数

2−aa

所以g(x)

当a≥1时,2−aa)上恒不成立

≤1 ,当x>1时, g′(x)>0 , g(x)在[1 ,+∞)上为增

函数,又g(1)=0 ,所以f(x)≥2lnx

综上所述,所求a的取值范围是[1 ,+∞)4利用导数证明不等式

对于只含有一个变量的不等式都可以通过构造函数,然后利用函数的单调性和极值解决.(6)设函数f(x)=x+ax2+blnx ,曲线y=f(x)过P(1 ,0),且在点P处的切线斜率为2

(i)求a ,b的值(ii)证明f(x)≤2x−2

f 1 =0b1+a=0解(i)f′(x)=1+2ax+由已知条件得 ′即

xf1=21+2a+b=2解得a=-1b=

3(ii)由(i)知 f(x)=x−x2+3lnx设g(x)= f(x)−(2x−2)= 2−x−x2+3lnx 则g′(x)=-1−2x+ =−

x3

x−1(2x+3)

x

当00;当x>1时 g′(x)

所以g(x)在(0 ,1)上单调递增,在(1 ,+∞)内单调递减 ，而g(1)=0 故当x>0时 , g(x)≤0 ,即f(x)≤2x−2

解题心得:利用导数证明不等式成立,重点是构造适当的函数,利用导数的方法研究函数的单调性,通过单调性证明不等式.(7)已知f(x)=x2+lnx ,求证:在[1 ,+∞)上,f(x)的图像总在21

g(x)=x3的图像的下方.解析: 本题等价于证明:当x≥1时,不等式x2+lnx

构造函数F(x)= x+lnx− x ,则F(x)=x+−2x=

x

3′

1−x(1+x+2x2)

x

因为x≥1 所以F′(x)≤0 故F(x)在区间[1 ,+∞)上是减函数,从而 F(x)≤ F(1)=-即x2+lnx

6g(x)=x3的图像的下方.通过以上几例可以看出,构造辅助函数是用导数方法求解或求证不等式问题的关键,只要函数构造的恰当,求解及推证的过程就会特别的简单、明快.