杨辉三角杭州第七中学_杨辉三角七年级下

2020-02-29 其他范文下载本文

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高中数学第三册第二章第2节教案

研究性课题：杨辉三角

杭州七中

翟慎佳

【教学目的】

1．进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络； 2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．【教学手段】

计算机辅助教学CAI 【教学思路】

→引言：为什么要探究杨辉三角？ →什么是杨辉三角？ →杨辉简介

→师生观察讨论杨辉三角 →杨辉三角的基本性质

→探索杨辉三角的数字排列规律（多层次、多角度）→展示学生探究成果 →教学小结【教学过程】

引言: 为什么要研究杨辉三角？

▲教学意图研究杨辉三角的意义

（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；

１．什么是杨辉三角？

▲教学意图复习提问杨辉三角

二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（Ｐ.71图）

高中数学第三册第二章第2节教案

２．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表

▲教学意图了解数学家杨辉及其成就, 增强民族自豪感

杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。

“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．

在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先

发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．

３．观察杨辉三角所蕴含的数量关系

▲教学意图观察发现数字排列规律, 对学生的发现及时点评,培养观察力

（用Excel制作的杨辉三角——另一表现形式，用到第15行）

4．杨辉三角基本性质

▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律

（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是Cnrn!．

r!(nr)!（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也

高中数学第三册第二章第2节教案

rr1r就是CnCnC1n1．

rnr（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即Cn． Cn（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即

0n1n11rnrrnn(ab)nCnaCnabCnabCnb

▲教学意图利用数学归纳法证明二项式定理——学以致用

11证明：（1）当n=1时，左边＝(a+b)1= a+b, 右边＝C10a1C1b＝a+b 左边＝右边，所以等式成立．（2）假设当n=k时等式成立，即

0k1k1(ab)kCkaCkabCkrakrbrCkkbk

那么，当n=k+1时，(ab)k1(ab)k(ab)

0k1k11＝（CkaCkabCkrakrbrCkkbk）(ab)1kCk0ak1CkabCkr1akrbb1CkkabkCabCa0kkrkkrbr1Ck1kabCbkkkk1

1=Ck0ak+1+(CkCk0)akb++(Ckr+1Ckr)akrbb+1++(CabCkkkk1k)ab+Cbkkkk+1

利用组合数的两个重要性质可得

0k11kk1krr11k1(a+b)k1=Ck+Ckb++Ckk1abkCkk1a1ab++Ck1a1b即n=k+1时等式也成立．

根据（1）和（2），可知对于任意正整数n，等式都成立．

▲教学意图下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络

5．杨辉三角有趣的数字排列规律

▲教学意图培养学生观察力，注意观察方法：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！）

（1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1(k是正整数)行的各个数字有什么特点？

分析：观察可知，它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数.高中数学第三册第二章第2节教案

（2）杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？这时的行数Ｐ是什么数？ ▲教学意图继续“横”看

分析：如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数(素数).（3）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：

第1行第2行第3行第4行第5行

1＋1＝21＋2＋1＝4＝

231＋3＋3＋1＝8＝2

41＋4＋6＋4＋1＝16＝2

51＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝2 ．．．

012rn1n

第n行

CnCnCnCnCnCn2n

分析：第n行数字的和为2 n．

前n行(含第0行)所有数的和为2 –1，它恰好比第n行的和2 小1．

n（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩” 出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．

▲教学意图再引导学生“斜”向看例如：10＝1＋2＋3＋4，20＝1＋3＋6＋10，．．．

▲教学意图引导学生得出一般性的结论

一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．

根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：1＋1＋1＋．．．＋1＝Cn（第1条斜线）

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1＋2＋3＋．．．＋Cn＝C1n（第2条斜线）21＋3＋6＋．．．＋Cn1＝Cn（第3条斜线）31＋4＋10＋．．．＋Cn1＝Cn（第4条斜线）

．．．

rrCrrCrr1Crr2CnC1n(nr)（第r+1条斜线）

（课后要求用数学归纳法证明）

（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？

▲教学意图继续换一角度“斜”向看 1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

此数列{an}满足, a1=1,a2=1, 且an=an-1+an-2(n≥3)

这就是著名的斐波那契数列．

▲教学意图以下介绍斐波那契“兔子繁

殖问题”增强趣味性

中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子．第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数（第13个），即233．

(6)杨辉三角与弹子游戏（先介绍我国现代数学家华罗庚）

▲教学意图介绍我国现代数学家华罗庚的成就、学习其

为科学献身的精神、增强爱国情感

华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名．为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献．在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法．

高中数学第三册第二章第2节教案

▲教学意图下面介绍弹子游戏问题，本节的重要内容如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角

形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面（有几个通道就算第几层），以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去．……，以此类推，算一算：

012rn1nCnCnCnCnCnCn2n个弹子通过n+1层通道，落到各长方形框里的可能情况。

而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。可以设想，第1层只有１条通道，通过的概率是

分析：弹子从每一通道通过时可能情况是：它选择左右两通道可能性是相等的，22111第3层有3个通道，每条通过的概率从左到右依次是

，4441331第4层各通道通过的概率从左到右依次是

3，3，3，3

2222第2层有２条通道，每条通过的概率依次是

．．．

照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？

引导学生写出此“概率三角形”，分析与杨辉三角的关系：第n行各概率的分子是杨辉三角中的数，分母是2 n。（引导学生课后仿第1章复习小结例1解答．）