增函数相乘一定是增函数吗_增函数与增函数相乘

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增函数相乘一定是增函数吗？

2013-01-31 16:06乔柒儿|分类：数学| 浏览69次

理论来说好像是。但y=x在R上是增函数，相乘后的y=x^2的定义域也是R 可它并不是R上的增函数而是先减后增。所以增函数X增函数=增函数的判定法则有问题吧？ 提问者采纳

2013-01-31 16:22

增函数X增函数后的函数是未定的，你述说中的判定是不存在的，也就是说，增函数之积不一定是增函数。下面给出证明

证明：

设y1=f(x)和y2=g(x)都是定义域上的增函数，而且f(x)和g(x)定义域相交不为空集，设其定义域的交集为A，函数y=f(x)g(x)有y1和y2组成，则：

令x1，x2∈A，且x1

f(x1)

但是f(x1)g(x1)与f(x2)g(x2)的关系是不能确定的，因为很显然：

当f(x1),f(x2),g(x1),g(x2)中有小于零时，f(x1)g(x1)

f(x1)g(x1)和f(x2)g(x2)的关系不能判定，因此，增函数之积构成的新函数单调性不能确定

从上述证明也可以看出，如果要增函数之积构成的函数是增函数成立，必须是这两个增函数都大于零，即：

当y1=f(x)和y2=g(x)大于零恒成立，且满足：

①f(x)和g(x)都是增函数；

②定义域交集不为空集；

则：y=f(x)g(x)也是增函数