第3讲函数的单调性_专题3函数的单调性

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第5课时函数单调性

第一部分知识梳理

1.增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

数的定义可定义减函数.2.如果函数f(x)在某个区间D上是增函数或减函数，就说f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x1、x2∈给定区间，且x1

（1）f(x)= x从左至右图象上升还是下降 ______? ○在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．

（2）f(x)=-x+从左至右图象上升还是下降 ______? ○在区间 ____________ 上，随着x的增 ○

大，f(x)的值随着 ________ ．（3）f(x)= x

1在区间 ____________ 上，○

2f(x)的值随着x的增大而 ________ ．在区间 ____________ 上，f(x)的值随 ○

着x的增大而 ________ ．

【例2】如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单 调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

4.判断函数单调性的方法步骤

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： ① 任取x1，x2∈D，且x1

③变形（通常是因式分解和配方）； ④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）． 【例】

① 证明函数yx

② 作出函数y =－x +2 | x | + 3的图象并指出它的的单调区间

第二部分例题讲解

【例1】试用函数单调性的定义判断函数f(x)

在（1，+∞）上为增函数 x

2x

在区间（0，1）上的单调性.x

12x12x22(x2x1)

解：任取x1,x2∈(0,1)，且x1x2.则f(x1)f(x2).x11x21(x11)(x21)

由于0x1x21，x110，x210，x2x10，故f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).2x

所以，函数f(x)在（0，1）上是减函数.x1

【例2】求二次函数f(x)ax2bxc(a0)的单调区间及单调性.解：设任意x1,x2R，且x1x2.则

f(x1)f(x2)(ax12bx1c)(ax22bx2c)a(x12x22)b(x1x2)(x1x2)[a(x1x2)b].bb

若a0，当x1x2时，有x1x20，x1x2，即a(x1x2)b0，从而f(x1)f(x2)0，2aa

bb

即f(x1)f(x2)，所以f(x)在(,]上单调递增.同理可得f(x)在[,)上单调递减.2a2a

练习（1）证明：函数fxx21在-3，0上是减函数。

（1）求二次函数fxx24x1的单调区间及单调性.第六课时

【例3】求下列函数的单调区间：

（1）y|x1||2x4|；（2）yx22|x|3.3x3,x1



解：（1）y|x1||2x4|x5,2x1，其图象如右.3x3,x2

由图可知，函数在[2,)上是增函数，在(,2]上是减函数.2x2x3,x0

（2）yx22|x|32，其图象如右.x2x3,x0

由图可知，函数在(,1]、[0,1]上是增函数，在[1,0]、[1,)上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y轴右侧的图象，并把y轴右侧的图象对折到左侧，得到f(|x|)的图象.由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.3x

1【例4】已知f(x)，指出f(x)的单调区间.x23(x2)5

5解：∵ f(x)，3

x2x25

∴ 把g(x)的图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y轴向上平移3个单

x位，得到f(x)的图象，如图所示.由图象得f(x)在(,2)单调递增，在(2,)上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象.需知f(xa)b平移变换规律.第三部分 课堂练习

1．已知函数f(x)是2,2上的单调函数，若f(1)2，f(1)2，则函数f(x)在2,2上是单调函数．

2． 如图所示，该函数的单调增区间是：； 单调减区间是：．

3．下列函数在定义域上是单调增函数是（）

（A）yx2（B）y（C）y2x3（D）yx1

x4．若函数y(k1)x在(,)上是减函数，则（）（A）k1（B）k1（C）k1（D）k1

5．函数yx2x2在下列哪个区间上是的单调减函数（）（A）(0,)（B）(,0)（C）(1,)（D）(,1)6．求证：y2x4在R上是增函数．

7．如果函数yx2(a1)x1在区间1,3上为减函数，求实数a的取值范围．

8． 试写出函数yx1的单调区间．

9．已知函数f(x)x1．

（1）求函数的定义域；（2）判断该函数在定义域上的单调性，并证明之．

10．已知函数f(x)x24x3．

（1）画出该函数的图象；（2）写出函数的单调区间．

11．判断函数yx

12． 若函数f(x)

第四部分过关检测

1．函数yx26x的减区间是（）.A.(,2]B.[2,)C.[3,)D.(,3] 2．在区间（0，2）上是增函数的是（）.A.y=－x+1B.y

y= x－4x＋5D.y=3．函数f(x)|x|和g(x)x(2x)的递增区间依次是（）.A.(,0],(,1]B.(,0],[1,)C.[0,),(,1]D.[0,),[1,)4．已知f(x)是R上的增函数，令F(x)f(1x)3，则F(x)是R上的（）.A．增函数 B．减函数 C．先减后增D．先增后减

在(1,)的单调性，并用定义证明之． x

ax

在(2,)上为增函数，求实数a的取值范围． x1x

5．二次函数f(x)x22axb在区间(∞，4)上是减函数，你能确定的是（）.A.a2B.b2C.a4D.b

46．函数f(x)的定义域为(a,b)，且对其内任意实数x1,x2均有：(x1x2)[f(x1)f(x2)]0，则f(x)在(a,b)上是.（填“增函数”或“减函数”或“非单调函数”）

7．已知函数f(x)= x－2x＋2，那么f(1)，f(－1)，f

之间的大小关系为.x

38．指出下列函数的单调区间及单调性：（1）f(x)；（2）y|x22x3|

x1

0.（1）求b与c的值；（2）试证明函数f(x)在区间(2,)上是9．若f(x)x2bxc，且f(1)0,f(3)

增函数.11

10．已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数m、n均有f(mn)f(m)f(n)1，且f(又当x2，22

时，有f(x)0.（1）求f()的值；（2）求证：f(x)是单调递增函数.