导数的应用4—恒成立问题_导数在恒成立存在运用

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导数的应用4—恒成立问题

高中数学中的恒成立问题,涉及到一次函数、二次函数的性质、图象,渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,考查综合解题能力,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型:1.一次函数型;2.二次函数型;3.变量分离型;4.根据函数的奇偶性、周期性等性质;5.直接根据函数的图象;6.利用导数求解。

“恒成立”的含义，一定是比“比最大的还大”或“比最小的还小”。因此恒成立问题往往又可以转化为求函数最值的问题。A组：

1．（1）实数k为何值时不等式ex

kx对任意xR恒成立？（2）实数k为何值时关于x的不等式lnxkx

恒成立？

2．已知函数f(x)x3ax2x1,aR，若函数f(x)在区间23,1

3

内是减函数.求a的取值范围.3．已知函数f(x)＝－ax3－x2＋x(a∈R)，当x≥1

时，f(x)≤ax恒成立，求实数a的取值范围．

4．设函数f(x)＝ex－e－

x，若对任意的x≥0都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围．

5．若关于x的方程x2

2alnx2ax（a＞0）有唯一解，求实数a的值．

6．已知f(x)ln(x1)，g(x)11

x1，试证：对任意的x＞0，都有f(x)g(x)成立．

7．已知函数f(x)ex

kx，xR。

（Ⅰ）若ke，试确定函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若k0，且对于任意xR，f(x)0恒成立，试确定实数k的取值范围；

B组：

1．设函数f(x)

sinx

2cosx

．

（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）如果对任何x≥0，都有f(x)≤ax，求a的取值范围．

2．设函数f(x)

lnx

1x

lnxln(x1)．（Ⅰ）求f(x)的单调区间和极值；（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．

3．设函数f(x)

xlnx

(x0且x1)。1（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；（Ⅱ）已知2x

xa对任意x(0,1)成立，求实数a的取值范围。

(x)=ln2

(1+x)-x24．已知函数f1x

.(I)求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若不等式(1

1n)na

e对任意的nN*都成立（其中e是自然对数的底数），求的最大值.5．设函数f(x)x2bln(x1)，其中b0．

（Ⅰ）当b

时，判断函数f(x)在定义域上的单调性；（Ⅱ）求函数f(x)的极值点；

（Ⅲ）证明对任意的正整数n，不等式ln111n1n2n

3都成立．

6．已知Ax

n(an，bn)（nN*）是曲线ye上的点，a1a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足

S22

n3n2anSn1，an0，n2，3，4，…．（I）证明：数列

bn2

（n≤2）是常数数列； bn

（II）确定a的取值集合M，使aM时，数列{an}是单调递增数列；

（III）证明：当aM时，弦AnAn1（nN*）的斜率随n的增大而单调递增．

7．已知函数f(x)x2

|x1|,g(x)x3ax(a0)，若x1[1,2],x2[2,3]，使得

f(x1)x1

g(x2)恒成立，求实数a是取值范围． 1