考研数学66条笔记_考研数学高人笔记

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1、对于不等式xnyn(nN)两边取极限时（以极限存在为前提），除不等号外还要带上

等号，即limxnlimyn。xx

2、对于任意数列an，若满足anAkan1A(n2,3....)其中0k1，则必有

limanA。这一结论在求解递归数列的极限时是很有用的。x

3、设gx在xa可导，(x)在xa连续而不可导，则gx(x)在xa处

不可导若g(a)0 可导且导数为g'(a)(a)若g(a)04、证明f'(x)P(x)f(x)x存在零点，等价于证明在Qa,b

u(x)f'(x)P(x)f在(xa),bQ(x)其中u(x)为a,b内任意恒正的函存在零点，P(x)dx数。受求解一阶线性方程积分因子法的启示，取u(x)e，F(x)eP(x)dxf(x)eP(x)dxQ(x)dx5、曲率：Ky''x'y''x''y' 223/223/2(x'y')(1y')

z

r

zdrdsdt s

z

txyrrxF1(r,s,t)xy

6、参数方程的重积分换元yF2(r,s,t)dxdydzsszF(r,s,t)3xytt7、若f(x)以T为周期的周期函数，f(x)的全体原函数以T为周期的充要条件是

T

0f(t)dt08、若f(x)在区间I上有第一类间断点，则f(x)在I上不存在原函数；若f(x)在区间I

上有第二类间断点，不确定f(x)在I上存不存在原函数。

2u2u9、多元初等函数的偏导数仍是初等函数，xyyx10、旋转面与柱面方程

命题1：设空间曲线的曲线参数方程为x(t),y(t),z(t)，则绕z轴旋转

x一周的曲面方程为：y

z(t)

命题2：准线方程为：

f(x,y)0

当母线的方向向量为sl,m,n则柱面方程

z0

f(x

lm

z,yz)0 nn

xf(t)



命题3：若准线方程是：yg(t),t(,)，母线的方向向量是sl,m,n，柱

zh(t)xf(t)lu

面方程是yg(t)mu

zh(t)nu11、12、Yb，两个随机变量X,Y，若Xa则当a0时XY1；当a0时XY

1设f(x)在a,b非负，,(ab,，)f(x)在xa0

,可积，又设

xa(或xb)是f(x)的瑕点，且lim(xa)pf(x)l(或lim(bx)pf(x)l)则

xb0

当p1且0l时，瑕积分13、14、15、16、17、18、

b

a

f(x)dx收敛。

实对称的矩阵的属于不同特征值的特征值向量正交 正交的向量组必线性无关

知道三边长求面积用“海伦公式”S

p

z0 r

(abc)

2zf(x,y,r)条件“z与r无关”，潜台词就是说f(x,y)g(x,y)两边对x，y求偏导是相等的有zf(x,y)区域Dxy求极值（最值）用拉格朗日函数，求出若有两个，则分

别算出后求其极（最）值大小

19、秩为1的矩阵可以化为两个向量的积A，为n维列向量。并且A的自乘

T

积AaA，a为常数20、21、22、A的行（列）向量相互垂直，且长度相同为a，B

A为正交矩阵 a

(AE)(AE)(AE)(AE)满足交换律

ABx0①Bx0②由于②的解必是方程组①的解。因此，R（②的解向量）

≤R（①的解向量）

23、求矩阵的n次幂可化为对角阵（可化为对角阵的矩阵）来求：

A~AnPnP124、25、26、的27、是对称矩阵的特征向量相互正交，Q1AQ已知求A（已知A的一个特征向矩阵A的正负惯性指数不等于主子式的正负个数 时间A、B相互独立，A、B、、相互独立

在使用公式P{axb}F(b)F(a)时，在这里{}中的不等式应该是左开右闭

量）；先求出A的另外的特征向量（利用正交条件），求出Q，然后求出A28、1



对角阵左乘A，A[12n],AA(11,22,nn)n

对于连乘式的处理，可以将式子取对数，转换成和式进行分析

E(X+Y)=E(X)+E(Y)X、Y不作独立要求

E(XY)=E(X)E(Y)X、Y必须独立Cov（X，Y）=0 ①矩阵A满足f（A）=0，矩阵A 的特征值由f()0确定

具体特征值是否有？有几个同i只是确定了的取值范围，29、30、31、②f()0解出来的样的特征值？还需要增加题目条件

32、矩

阵

Amn，对于

ATA的特征值为非负：

(Ax)TAx0xTATAxATA正定或半正定，033、A对应的线性无关特征向量的个数≤特征值的重数

34、最大似然估计值不一定要求似然函数的导数为零，有可能似然函数是恒增或者是恒

减的，那么根据定义域的范围来求解最大似然估计值

35、初等矩阵均是可逆的，并且有这样的表示方法（要会写出初等矩阵的表示）：

1

Eij1Eij,Ei1kE,Eij1kEk

k

36、两个极限反常积分审敛法：①反常积分





a

(a0)当p>1时收敛，当p≤1px

时发散 ②反常积分



b

a

当0

(xa)37、38、XY1的充分必要条件是存在常数a、b使P{YaXb}

1证明一元函数f（x）的极限不存在的一种方法：

n

若xnx0,xnx0,limf(xn)不存在或xnx0,xnx0,ynx0,ynx0使得

limfx()n

n

n

lfimyn，则(limf(x)不存在xx0

n

39、对于任意数列an，若满足anAkan1A其中0

（求解递归数列的极限，数列不是单调的，先求A，后证明存在）40、设an1f(an)(n1、2、3),an区间I，若f（x）在区间I单调上升，并且

；若f（x）在区间I单调递减，则ana2a1(a1a2)，则an单调上升（单调递减）

不具有单调性（对于递归系列的复杂的数列，可以从递归函数入手，PS：先说明有界）

41、相等42、43、“f（x）在xx0邻域二阶可导”换句话“f（x）在xx0处的导数二阶导数连续” 一般的，设f（x）在[a,b]连续，在（a,b）n阶可导，f(x)在（a,b）无零点，则f

n

证明两条曲线在某一点相切M(x0,y0)，先求交点，后求交点的导数相等/方向向量

（x）在（a，b）至多有n个不同的根

44、用泰勒公式的证明，关键在于选取展开点，一般来说已知条件给的点作为展开点，若已知条件给出f(x)，f’(x)的特征，可选在x处展开

45、注意用词：“某点二阶可导”说明二阶导数在其邻域内是连续的；“在某点存在二阶

导数”说明在该店处是可导的，但是在其邻域内不一定可导

46、周期函数的导数依然是以T为周期的周期函数，而周期函数的原函数可就不一定

是周期函数。只有当



T

f(t)dt0时，f（x）的全体原函数为周期为T的周期函数

47、求取不定积分原函数的时候有一种方法，叫做“分项积分”一般应用在同种类型的函数结构构成的分式中（裂项公式）

48、两个矩阵相似可以推出A1,A2的特征值相同，两矩阵的特征值相同不能推出相似；

A1,A2特征值相等并且R(EA1)R(EA2)可以得出结论“A1,A2相似”

49、求x时的极限，通常以“抓大头”的办法，所谓“抓大头”就是取分子、分母中趋于最快的项（指数式>幂式>对数式）50、看清题目中的用字：“任意”一般来说范围很广，可以向要处理的式中带入特定的的值或表达式，向目标推导

51、关于倒代换，设m、n分别为被积函数分子、分母关于（x±a）的最高次数，当n-m

≥1时，用到代换可能成功（设x±a=1/t）52、53、D(X2Y)0X2Yc(常数)X2Yc,XY

1FX(x)为分布函数，考察xa点是否连续：P{Xa}P{Xa}0则连续，

否则不连续

54、(r)

xr1exdx(r0)是参数r的函数，称为函数，函数的一个重要性

质为(r1)r(r)，特别的(n1)n!

55、ij

D(X)D(Xi)D(Xi)

X与X相互独立

ii

ij

D(X)D(Xi)D(Xi)2Cov(Xi,Xj)

X与X不相互独立

iiij56、f(x1,x2,x3)5x125x223x322x1x26x1x36x2x3则f(x1,x2,x3)1表示

何种二次曲面？将f(x1,x2,x3)1对角化，可以得到f4y229y321，f表示椭圆柱面

57、正交变换不改变向量长度

58、矩阵A正定的必要条件aii0(i1,2,3n),A0，合同变换不改变矩阵的 特

征值

59、旋转曲面围成的平面的方向为右手螺旋定则所规定的 60、已知yy(x)的曲线，与x轴围成图形的型心,b



a

dx

y(x)

xdy



b

b

a

ydx

y(x)



b

a

y(x)xdx



b

a

ydx

1b

2ydxdxydyaab0b

ydxydx

a

a61、对于F(x,y,z)0的隐函数的形式dS

ydxdy可以使得计算

得到化简 62、63、64、f(x,y)在公共点M0处的法向量为(fx',fy')|M0grandf(x,y)|M0

(kA)*kn1A*;(A*)*|A|n2A;|A*|=|A|n

1若A列满秩R(AB)R(B)，R(AA)R(A)（2012年数学一考过）

T65、1q1，收敛

q，发散n2nlnnq

1

66、XY2xXxYx