函数的表示方法_表示函数的方法

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宜宾市翠屏区龙凤教育培训学校主讲人：杨老师

函数的概念及表示方法

重点、难点：

1.对应、函数、映射

2.函数的三要素：定义域、值域、对应法则

3.定义域、值域计算的基本方法

4.计算的基本方法

5.分段函数与复合函数

1.函数

设A、B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么称f:

A到集合B的一个函数，记作：yf(x),xA.AB为从集合其中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域；与x的值对应的y值叫函数值，函数值的集合{f(x)|xA}叫值域。

[注意] ①构成函数的三要素：__________、_________、_________。②A、B都是非空数集，因此定义域（或值域）为空集的函数不存在。

③函数符号f(x)的含义：f(x)表示一个整体，一个函数，而记号“f”可以看做是对“x”施加某种法则（或运算），如f(x)x22x3，当x2时，可看做对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去它与2的积，再加上3；

当x为某一个代数式（或某一个函数记号）时，则左右两边的所有x都用同一个代数式（或函数记号）代替，如f(2x1)(2x1)22(2x1)3[g(x)]22g(x)3等等。

④f(x)与f(a)的区别于联系。教师寄语：亲爱的同学，学习路上雷厉风行，没有什么不可能，老师相信你能行的，祝你学习轻松愉快！

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f(a)表示当xa时，函数f(x)的值，是一个常量；而f(x)是自变量x的函数，在一般情况下，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特征值。如一次函数f(x)3x5，当x8时，f(x)38529是一个常量。

⑤定义域，在实际问题中受到实际意义的制约。如函数y的定义域为x|x0；圆半径r与圆面积S的函数关系为Sr2的定义域为r|r0。

例1 已知函数f(x)=3x2＋5x－2,求f(3)、f(-

例2函数

同一函数的判断：

两个函数当且仅当定义域与对应法则分别相等时，才是同一个函数，这说明：

(1)定义域不同，两个函数也就不同；

(2)对应关系不同，两个函数也是不同；

(3)即使是定义域和值域都分别相同的两个函数，它们也不一定是同一个函数。因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应关系。例如，y=2x+1与y=x+1 例3 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

A.f(x)=(x －1)0；g(x)= 1B.f(x)= x； g(x)=

C．f(x)= x 2；f(x)=(x + 1)2D.f(x)= | x | ；

g(x)=

[注意]00无意义！

x23x2y＝x2)、f(a)、f(a+1)与y＝3x是不是同一个函数？为什么？

2.区间及写法

设a、b是两个实数，且a

{x|a≤x≤b}＝[a,b] 叫闭区间；{x|a

①符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大” ②区间左端点值要小于区间右端点值；区间符号里面两个字母（或数字）之间用“，”隔开；

例4 练习用区间表示：R、{x|x≥a}、{x|x>a}、{x|x≤b}、{x|x

例5 用区间表示：函数y＝x的定义域，值域是。（观察法）

3.由函数的解析式求定义域

例6 求下列函数的定义域（用区间表示）

f(x)=

例7 f(x)

＝x2x3 x3x22；

f(x)=x1－x2xf(x)

例8

f(x)；f(x)1 11/x

4.函数的值域

例9 求值域（用区间表示）：yx22x4；y

【方法、技巧】求函数值域的方法：

(1)观察法。一些简单的函数，可通过定义域及对应法则，用观察的方法来确定函数的值域。

例10 求下列函数的值域：(1)f(x)2x1,x1,2,3,4,5；

(2)y1

(2)配方法。通过函数解析式配方，由非负实数的意义确定函数的值域。

例11 求函数yx24x6的值域

[解析]yx24x6定义域为R，是二次函数，首先考虑配方法。

函数的定义域为R，∵yx24x6(x2)22,xR时，(x2)20∴该函数的 值域为y|y2[2,)

(3)分离常数法。当自变量有一定的取值范围时，利用不等式的性质求出因变量的取值集合。

2x1(1x2)的值域。x1

3[解析] ∵y2，又1x2,2x13,1x15x2；f(x) ；f(x) x

3x3例12 求函数y331yx122，故所求值域~~.(4)换元法。通过换元化简函数解析式，从而顺利地求出函数的值域。

例13

求函数yx【较难】

t211t2[解析]

设t则x且t0，问题转化为求yt(t0)的值域。22

1t211yt(t1)2(t0)，又∵t0,(t1)21,∴y值的范围为y 222

[注意]辅助元的取值范围，如在本例题中，要确定t的取值范围，如忽视了这一点，就会错误。

5.练习一

1.函数f(x)1(xR)的值域1x2

A.（0,1）B.(0，1]C.[0，1）D.[0，1]

2.求函数yx3的值域

x2x3.求函数y2的值域为xx1

4.求函数yx

5.已知函数f(x)x2，求f(x1)；

6.已知函数f(x1)x2，求f(x)；（换元法）

7.若xR,f(x)是y2x2,yx这两个函数中教小者，则f(x)的最大值________

A.2B.1C.-1D.无最大值

8.若函数yf(x)的定义域是x|0x1，则yf(x2)的定义域是________

A.(-1,0)B.（-1,0）∪（0,1）C.(0,1)D.[0,1]

9.若函数yf(3x1)的定义域是[1,3]，则yf(x)的定义域是_____

A.[1,3]B.[2,4]C.[2,8]D.[3,9]

10.求下列函数的定义域(1)y23；

(2)y；x2

(3)y(x1)0

11.12.求函数yx24x6(0x5)的值域。[2,11)下列四组中的函数f(x)与g(x)，表示相同函数的一组为________.A.f(x)|x|,g(x)2；

B.f(x)g(x)C.f(x)x0,g(x)；

D.f(x)x,g(x)

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