江苏省姜堰中学学年度暑假自我检测_姜堰暑假工学生

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江苏省姜堰中学2014年学年度暑假自我检测

高一年级18班级（A班）

姓名：_______________班级：_______________考号：_______________

2一、简答题

1、已知a∈R，函数f(x)＝(－

x＋ax)e(x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数

f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． x

二、计算题

2、已知函数的最小值为（Ⅰ）求

（Ⅱ）是否存在实数m，n同时满足下列条件：

①m>n>3；

②当的定义域为[n，m]时，值域为[n，m]？ 2

2若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由.3、已知函数

（1）判断函数的奇偶性；

（2）求证：；

（3）若，求的值。、已知函数

（1）若函数上为增函数，求正实数a的取值范围；

（2）当a=1时，求上的最大值和最小值；

（3）当时，求证：对大于1的正整数n，5、已知函数f(x)（x∈R）满足下列条件：对任意的实数x1、x

2都有

[f(x1)f(x2)]和|f(x1)f(x2)|≤|x1－x2|，其中

b满足f(a0)=0，b=a

f(a).≤

是大于0的常数，设实数a0，a，（1）证明≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0

（2）证明（ba0）≤

（122)(aa0)

（3）证明[f(b)]≤

(1)[f(a)]

6、若

且

（1）求对所有实数

成立的充要条件（用表示）

（2）设

为两实数，且若

求证：

在区间上的单调增区间的长度和为

（闭区间的长度定义为）

7、已知函数

在区间内各有一个极值点.（Ⅰ）求的最大值；

（Ⅱ）当

时，设函数的图象（即动点在点A

附近沿曲线

在点

处的切线为，若在点A

处穿过运动，经过点A时，从的一侧进入另

一侧），求函数的表达式.8、已知函数．

(1)

证明：存在，使；

(2)设=0，；，其中=1，2，„，证明：

(3)证明：．

9、如果函数在区间D

上有定义，且对任意，则称函数为区间D上的“凹函数”，（Ⅰ）已知

明；若不是，请说明理由；

是否是“凹函数”，若是，请给出证

（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的函数

有下列性质：“若使得

”成立，利用这个性质证明唯一.（Ⅲ）设A、B、C是函数△ABC是钝角三角形.图象上三个不同的点，求证：

三、综合题

（每空？ 分，共？ 分）

10、已知函数．

（1）若，且对任意的实数，都有

成立，求的取值范围；

（2）若时，的最大值为M，求证：；

（3）若,求证：对于任意的，恒成立的充要条件是

．

11、已知a为实数，函数f(x)=x-2alnx.（Ⅰ）求f(x)在[1，+∞上的最小值g(a);（Ⅱ）若

a>0,试证明“方程f(x)=2ax有唯一解”的充要条件是“a=”.12、已知函数是

与的图象在的图象相交于两点的切线，，分别

分别是，与轴的交点．

（I）求的取值范围；

（II）设

为点

域；的横坐标，当时，写出

以为自变量的函数式，并求其定义域和值

（III）试比较与的大小，并说明理由（是坐标原点）．

13、已知函数的切线与直线

垂直．的图象过点，且在点处

(1)求实数的值；

(2)求在（为自然对数的底数）上的最大值；

(3)对任意给定的正实数，曲线

顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在上是否存在两点轴上？，使得

是以为直角

14、定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，则称函数

为“性质函数”。，使得

（1）

若函数为“

1性质函数”，求；

（2）

判断函数

是否为“性质函数”？说明理由；

（3）

若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；

15、设二次函数

（Ⅰ）求实数a的取值范围;

方程的两根和

满足

（Ⅱ）试比较的大小，并说明理由.16、已知函数f(x)=mx+nx(m、n∈R ,m≠0)的图像在（2，f(2)）处的切线与x轴平行.（1）求n,m的关系式并求f(x)的单调减区间；（2）证明：对任意实数0

在（x1,x2）恒有实数解

（3）结合（2）的结论，其实我们有拉格朗日中值定理：若函数f(x)是在闭区间[a,b]上连续不

断的函数，且在区间(a,b)内导数都存在，则在(a,b)内至少存在一点x0，使得

如我们所学过的指、对数函数，正、余弦函数等都符合拉格朗日中值定理条件.试用拉格朗日中值定理证明：

.当0