导数的应用单调性 典型练习_导数求单调性经典例题

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§1.3.1 利用导数判断函数的单调性

题型一 利用导数求单调区间 例

1、求下列函数的单调区间（1）f(x)3x22lnx（2）f(x)sinx(1cosx)（3）f(x)(xk)ex（4）f(x)x3

3ax1(a0)

（5）f(x)exexx[0,) 题型二 证明函数的单调性 例2 证明：函数f(x)

lnx

x

在区间(0,2)上是单调递增函数.练习1 证明：f(x)xlnx在其定义域上是增函数.求证函数yxsinxcosx在区间(32,5)内是增函数.题型三 利用导数证明不等式问题（思想方法：构造函数法）例3 已知x1，求证：xln(x1)练习3 证明不等式：lnx

2(x1)

x1

(x1)练习4 当x0时，证明：12xe2x.题型四 证明方程根的唯一性（方法同题型三）例4 求证：方程x12

sinx0只有一个跟.练习5 ：证明方程2x376x2在区间(0,2)内有唯一实根.题型五 利用导数求值域

例5 求函数yx32x2x3,x[23,1]的值域.练习6 求函数f(x)4x27

2x

在[0,1]上的单调区间及值域.题型六 利用单调性求参数的范围或求参数的值.例6 已知函数f(x)2ax1

x2，x(0,1]，若f(x)在(0,1]上是增函数，求a的取值范围.例7 已知函数f(x)ax3bx26x1的单调增区间为(2,3)，求a、b的值.例8 已知a(x2,x1)，b(1x,t)，若函数f(x)ab在区间(1,1)上是增函数.求

实数t的取值范围.练习7 已知函数f(x)ax33x2x1在R上是减函数，求a的取值范围.练习8 若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数.求实数m的取值范围.练习9 设函数(x)ex

f1ax，其中a为正实数，若f(x)为R上的单调函数.求a的取值范围.练习10 设函数f(x)1x31x22ax.若f(x)在(23

3,)上存在单调递增区间，求实数a的取值范围.