函数技巧_函数解题技巧

函数技巧由刀豆文库小编整理，希望给你工作、学习、生活带来方便，猜你可能喜欢“函数解题技巧”。

函数的解题技巧

1，首先把握定义和题目的叙述

2，记住一次函数与坐标轴的交点坐标，必须很熟

3，掌握问题的叙述，通法通则是连立方程（当然是有交点的情况）

函数其实在初中的时候就已经讲过了，当然那时候是最简单的一次和二次，而整个高中函数最富有戏剧性的函数实际上也就是二次函数，学好函数总的策略是掌握每一种函数的性质，这样就可以运用自如，有备无患了。函数的性质一般有单调性、奇偶性、有界性及周期性。能够完美体现上述性质的函数在中学阶段只有三角函数中的正弦函数和余弦函数。以上是函数的基本性质，通过奇偶性可以衍生出对称性，这样就和二次函数联系起来了，事实上，二次函数可以和以上所有性质联系起来，任何函数都可以，因为这些性质就是在大量的基本函数中抽象出来为了更加形象地描述它们的。我相信这点你定是深有体会。剩下的幂函数、指数函数对数函数等等本身并不复杂，只要抓住起性质，例如对数函数的定义域，指数函数的值域等等，出题人可以大做文章，答题人可以纵横捭阖畅游其中。性质是函数最本质的东西，世界的本质就是简单，复杂只是起外在的表现形式，函数能够很好到体现这点。另外，高三还要学导数，学好了可以帮助理解以前的东西，学不好还会扰乱人的思路，所以，我建议你去预习，因为预习绝对不会使你落后，我最核心的学习经验就是预习，这种方法使我的数学远远领先其它同学而立于不败之地。

综上，在学习函数的过程中，你要抓住其性质，而反馈到学习方法上你就应该预习（有能力的话最好能够自学）

。函数是高考重点中的重点，也就是高考的命题当中确实含有以函数为纲的思想，怎样学好函数主要掌握以下几点。第一，要知道高考考查的六个重点函数，一，指数函数；二，对数函数；三，三角函数；四，二次函数；五，最减分次函数；六，双勾函数Y＝X＋A/X(A＞0)。要掌握函数的性质和图象，利用这些函数的性质和图象来解题。另外，要总结函数的解题方法，函数的解题方法主要有三种，第一种方法是基本函数法，就是利用基本函数的性质和图象来解题；第二种方法是构造辅助函数；第三种方法是函数建模法。要特别突出函数与方程的思想，数形结合思想.技巧：十种求初等函数值域的方法

【摘要】本文给出了观察法、分离常数法、配方法、判别式法、基本不等式法、换元法、反函数法、函数单调性法、导数法等十种求函数值域的方法.【关键词】初等函数；值域

函数的值域是函数的三要素之一, 掌握好求函数值域的方法, 对理解函数的概念意义重

大, 而函数概念是贯穿于整个高中课程的, 因此, 掌握求函数值域的方法对整个高中数学课程而言, 具有至关重要的意义.而整个高中课程所讨论的函数几乎全部是初等函数, 所以本文试图对常见的求初等函数值域的方法作一简要总结.一 观察法

观察法是最简单的求函数值域的方法, 此法适用于那些形式比较简单的函数, 例如对于函数y

3x2, 显然其值域为y(,0)(0,).此法虽然简单, 而且对于形式稍显复杂的函数, 此法常难奏效, 但是此法却是求函数值域最基本的方法, 对于其他形式稍繁的函数, 也是通过施加变换, 最终化成形式简单的函数, 从而应用此法求得.二 分离常数法

此法常适用于那些分式形式且分子与分母同为一次多项式的函数, 或能够化成上述形式的函数, 即形如

y



axbcxd

形式的函数.解决的办法是通过添项或减项, 在分子中分解出与分母相同的式子, 约分后应用观察法即可得函数的值域.例如对于函数y



x13x2, 利用恒等变形, 得到:

(3x2)3x2

1313

13(3x2)

y,)(1,).容易观察得出此函数的值域为y(,133

三 配方法

对于二次函数, 可利用配方法求解其值域, 对于与二次函数复合而成的函数, 可尝试对二次函数进行配方, 进而利用与其复合的函数的性质求其值域.例1 求函数ye

x4x3的值域.u

解答: 此题可以看作是ye和ux4x3两个函数复合而成的函数, 对u配方

2u

可得: u(x2)1, 得到函数u的最大值u1, 再根据ye得到y为增函数且

x

y0, 故函数ye

4x3的值域为: y(0,e].四 判别式法

此法适用于二次分式形式的函数, 尤其适用于分母为二次多项式的函数, 解决的办法是先将函数化成方程, 即隐函数f(x,y)0的形式, 再利用一元二次方程的理论求解问题.例2 求函数y

x1x2x2的值域.解答: 先将此函数化成隐函数的形式得:

yx

(2y1)x2y10,(1)

这是一个关于x的一元二次方程, 原函数有定义, 等价于此方程有解, 即方程(1)的判别式

(2y1)4y(2y1)0,解得: 

y

.,1].故原函数的值域为: y[122

五 基本不等式法

利用基本不等式a2b22ab和ab2ab(a,b0)是求函数值域的常用技巧之一, 利用此法求函数的值域, 要合理地添项和拆项, 添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量, 同时, 利用此法时应注意取“”成立的条件.例3 求函数y解答: y

y[2,).x2x1

x2x1的值域.x1

1x1

2, 当且仅当x1时“”成立.故函数的值域为

此法可以灵活运用, 对于分母为一次多项式的二次分式, 当然可以运用判别式法求得其值域, 但是若能变通地运用此法, 可以省去判别式法中介二次不等式的过程.例4 求函数y

x2x2x1的值域.解答: 此题可以利用判别式法求解, 这里考虑运用基本不等式法求解此题, 此时关键是在分子中分解出“(x1)”项来, 可以一般的运用待定系数法完成这一工作, 办法是设:

(x1)(xb)cx2x2,(2)

将上面等式的左边展开, 有:

x(b1)x(bc),故而b12, bc2.解得b1, c1.从而原函数y

(x1)(x1)1

x1

(x1)

1x1

1x1

;

ⅰ)当x1时, x10,0, 此时y2, 等号成立, 当且仅当x0.1x1

ⅱ)当x1时, (x1)0, 

(x1)(x1)1

x1

0, 此时有

y(x1)

1

(x1)2,x1x1

等号成立, 当且仅当x2.综上, 原函数的值域为: y(,2][2,).六 换元法

利用换元改变了原函数表达式的”面貌”, 使原来性质不明显的函数变得清晰, 从而易于求得原函数的值域.运用换元法时应注意所引进的参数变量的取值范围.例5 求函数yx2x的值域.分析: 若设t

2x, 则x

y

1212

(1t)(其中t[0,)).原函数变为

(1t)t

(t1)1.由于t[0,), 故y(,1].七 反函数法

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数, 可以利用”原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质, 先求出其反函数, 进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域.例 6 求函数y

e1e1

xx的值域.解答: 对于此题来说,我们尝试用反函数方法求解此题.先证明y

e1e1

xx

有反函数, 为此, 设x1x2且x1,x2R,ee

x1x1

y1y2

11



ee

x2x2

11

2

e(e

x1

x1

e

x2x2

1)(e1)

1x1x

0.所以y为减函数, 存在反函数.可以求得其反函数为:y1ln

x(1,1), 故原函数的值域为y(1,1)..此函数的定义域为

其实, 此题也可以用分离常数法来解, 这里就不再冗述了.八 图像法

对于一些能够准确画出函数图像的函数来说, 可以先画出其函数图像, 然后利用函数图像求其值域.例 7 求函数yx1x3的值域.分析: 此题首先是如何去掉绝对值,将其做成一个分段函数.2x4,y2,2x4,

x(,1],x(1,3),x[3,),在对应的区间内, 画出此函数的图像, 如图1所示, 易得出函数的值域为[2,).九 利用函数的单调性

当函数f在(a,b)上单调, 譬如f在(a,b)上递

增时, 自然有函数f在(a,b)上的值域为(f(a0),f(b0))(其中

f(a0)limf(x),f(b0)limf(x),当xa时,f(x)也称其存在,记为

xa

xb



f(a0));若f在(a,b)上递减, 函数f在(a,b)上的值域为(f(b0),f(a0)).在闭区

间[a,b]上也有相应的结论.例 8 求函数y

3x6

8x 的值域.分析: 此题可以看作yuv和u

3x6,v8x的复合函数,显然函数

uy

3x6为单调递增函数, 易验证vx亦是单调递增函数, 故函数3x6

8x也是单调递增函数.而此函数的定义域为[2,8].当x2时, y取得最小值.当x8时, y取得最大值30.故而原函数的值域为[,十 利用导数求函数的值域

若函数f在(a,b)内可导, 可以利用导数求得f在(a,b)内的极值, 然后再计算f在a,b点的极限值.从而求得f的值域.30].例 9 求函数f(x)x33x在(5,1)内的值域.分析:显然f在(5,3)可导，且f(x)3x23.由f(x)0得f的极值点为

x1,x1.f(1)2,f(10)2.f(50)140.所以, 函数f的值域为(2,140).