微积分A(普通班)教学大纲4月修改_微积分课程教学大纲

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浙江农林大学天目学院课程教学大纲

《微积分A》课程教学大纲

二、教学目标及任务

微积分是以函数为研究对象、以极限为研究工具的一门学科，它是建立在实数、函数和极限的基础上的，广泛地应用于各自然科学与社会科学之中。该课程是机械工程类、电子信息类、自动控制类、汽车木服务类、木材加工类、土木工程类等专业学生必修的公共基础课程，也是学习线性代数、概率论与数理统计，以及后继专业课程的必备基础。通过该课程的学习，要求做到：

①培养学生形成初步的科学抽象、逻辑推理、空间想象能力，以及进行辩证分析与解决实际问题的能力。

②使学生熟悉常用的微积分学知识, 为学习后继专业课程奠定基础。③使学生掌握必要的数学运算技能，以适应未来生产实际和科研工作的需要。

三、学时分配

本课程共128学时，在大学一年级第一学年开设。课程主要内容和学时分配见下表。

四、教学方法与手段

教学方法：以讲授法、启发式法、探究式法相互结合，重视学生的微积分知识运用能力的训练。教学手段：采用多媒体与板书交叉式教学，讲解与练习相结合。

五、教学内容及教学要求

第一章 函数

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解函数概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题的函数关系式； ②了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；

③理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念； ④了解基本初等函数的性质及其图形； ⑤掌握常用的三角函数关系式； ⑥理解反三角函数概念与性质； ⑦了解极坐标的概念。

（二）主要内容集合、区间、邻域、函数、反函数、复合函数、函数的基本特性等基本概念，基本初等函数、初等函数的概念及性质、常用的三角函数关系式、反三角函数概念与性质、极坐标的概念。

（三）重点：邻域、复合函数的概念与常用三角函数关系式；难点：反三角函数、极坐标的概念。

（四）说明：本章是高中数学部分知识复习和加深，是学习微积分知识的重要基础，务必打好基础。

第二章 极限与连续

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解极限及左、右极限的概念（在学习过程中逐步加深对极限定义的理解，但对极限的定义证 明不做要求），以及极限存在与左、右极限之间的关系；

②了解极限的性质与运算法则、极限存在的两个准则，会用两个重要极限公式求极限； ③了解无穷小、无穷大的概念及性质，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限； ④理解函数连续性及左、右连续的概念，会对函数的间断点进行分类；

⑤掌握连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和 最小值定理、介值定理），会进行简单应用。

（二）主要内容数列极限、收敛数列性质，函数极限、函数极限性质，极限运算法则，重要极限公式，无穷小与无穷大、无穷小的比较，函数连续性的概念，连续函数的性质，闭区间上连续函数的性质。

（三）重点：函数极限概念，极限的求法，闭区间上连续函数的性质；难点：极限定义，求不定式 的极限，分段函数分段点的连续性。

（四）说明：在中学数学的基础上加强数列或函数极限的概念理解，但用极限定义证明极限存在不 作要求；分段函数分段点的连续性讨论要求掌握，即分段函数分段点的连续性讨论，应强调左、右 连续性的方法。第三章导数与微分

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解导数与微分的概念，函数可导性与连续性、导数与微分之间的关系，了解导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线；

②熟练掌握导数的四则运算和复合函数的求导法则，基本初等函数的导数公式，了解微分的四则 运算法则和一阶微分形式不变性，会求函数的微分；

③理解高阶导数的概念，会求二阶、三阶导数及了解较简单函数的n阶导数；

④掌握反函数、参数方程与隐函数求导法及对数求导法，会求参数方程与隐函数的一阶导数，简 单了解参数方程与隐函数的二阶导数的求法。

（二）主要内容导数概念，函数和、积、商的求导法、反函数和复合函数的求导法则、高阶导 数、隐函数及由参数方程所确定函数的导数，函数的微分。

（三）重点：导数和微分的概念，各种求导方法；难点：复合函数、隐函数求导，隐函数的二阶导 数。

（四）说明：注意结合实例讲解导数的实际应用。第四章 中值定理与导数应用

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒定理； ②掌握用洛必达法则求不定式极限的方法；

③理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数单调性、求函数极值的方法，会解决求函数最大值 和最小值的简单应用题；

④会用导数判断函数图形的凹凸性，会求函数的拐点和了解渐近线的求法。⑤了解有向弧、弧微分和曲率。

（二）主要内容中值定理、洛必达法则、泰勒中值定理，函数单调性和曲线凹凸性的讨论，函数 的极值和最大、最小值、弧微分与曲率。

（三）重点：拉格朗日中值定理，罗必达法则，函数极值、最值的求法，函数单调性的判定；难 点：微分中值定理的证明及应用，求最大最小值的应用问题。

（四）说明：建议增加重点内容的有关练习，但函数作图不作要求。第五章 不定积分

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解原函数与不定积分的概念；

②熟悉不定积分的基本公式、不定积分的性质，掌握换元积分法和分部积分法； ③了解有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

（二）主要内容 不定积分的概念，不定积分的性质，换元积分，分部积分法、有理函数及有理化 积分法。

（三）重点：不定积分的概念，不定积分的计算方法；难点：凑微分法与换元积分变量的选择，分 部积分方法的使用。

（四）说明：对有理函数和三角函数有理式的积分只是简单的了解，且有理分式积分侧重于分母为 二次三项式的形式，且以技巧性解题方法为主。第六章 定积分及其应用

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解定积分的概念，了解可积性条件，掌握定积分的性质及积分中值定理； ②掌握定积分的换元积分法与分部积分法；

③理解变限积分定义的函数，会求其导数，掌握牛顿--莱布尼兹公式； ④了解两类广义积分的概念与形式，会进行两类广义积分的计算；

⑤掌握定积分计算平面图形面积、旋转体体积、曲线弧长，会利用定积分解决一些简单的几何问 题。

（二）主要内容定积分的概念与性质，微积分基本公式，定积分的计算方法，微元法简介，定 积分的（几何）应用，反常积分。

（三）重点：定积分的概念，牛顿--莱布尼兹公式定积分计算方法，定积分在几何方面的应用，元素法；难点：变限函数的求导方法及其应用。

（四）说明：可借助几何直观，加强元素法解决实际问题的练习。第七章 微分方程

（一）教学要求通过本章学习，要求做到：

①了解常微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念；

②掌握可分离变量的微分方程、齐次微分方程及一阶线性微分方程的解法； ③会用降阶法求解下列微分方程：y阶微分方程。

（三）重点：微分方程的概念可分离变量的微分方程、一阶线性微分方程的解法；难点：微分 方程应用。

（四）说明：应重点培养学生根据实际问题建立微分方程并进行求解的能力。第八章 向量代数与空间解析几何

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解空间直角坐标系的结构与空间点的表示方法；

②理解向量的概念及其表示，了解向量运算(线性运算、数量积、向量积)，掌握两向量垂直、平

行的条件；

③掌握单位向量、方向余弦、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法；

(n)

f(x),yf(x,y),yf(y,y)。

（二）主要内容 微分方程的基本概念，可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程，可降阶的高

④掌握平面方程与直线方程的求法，会利用平面、直线的相互关系解决有关问题；

⑤理解曲面方程的概念，了解以坐标轴为旋转轴的旋转曲面，以及母线平行于坐标轴的柱面方程；⑥了解空间曲线的参数方程和一般方程。

（二）主要内容 向量的概念，空间直角坐标系，平面及其方程、空间直线及其方程、曲面方程与 空间曲线方程。

（三）重点：向量及其运算的坐标表达式，平面与直线的方程确定；难点：常用二次曲面及其方程 确定。

（四）说明：空间概念、空间平面与直线的方程确定等，可对照平面解析几何进行类比推广。第九章 多元函数微分学及其应用

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到： ①理解多元函数的概念；

②掌握二元函数极限与连续性概念，以及有界闭区域上连续函数的性质；③掌握偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件；④了解方向导数与梯度的概念及其计算方法；

⑤掌握复合函数偏导数的求法，会求具体复合函数的一、二阶偏导数，对抽象的复合函数偏导数 不作要求；

⑥会求一个方程所确定的隐函数的偏导数，对方程组所确定的隐函数的偏导数不作要求；⑦掌握曲线的切线、法平面；曲面的切平面与法线，会求它们的方程；

⑧掌握多元函数的极值和条件极值概念，会求二元函数极值，了解条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值、最小值应用题。

（二）主要内容多元函数的基本概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数及隐函数的求导法，偏导数的应用，多元函数极值和条件极值。

（三）重点：二重极限概念，偏导数的求法，多元极值及其应用；难点：二重极限计算，复合函数 偏导数的求法。

（四）说明：多元函数以点函数的形式引入为宜，二重极限与偏导数的概念与求法，可对照一元 函数极限与导数的相关内容强调对照理解、类比推广。第十章 二重积分

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到： ①理解二重积分的概念，了解二重积分的性质；

②掌握在直角坐标计算，了解在极坐标系下二重积分的计算方法。

（二）主要内容 二重积分的概念与性质，二重积分的计算。

（三）重点：二重积分概念，二重积分的计算方法；难点：二重积分的极坐标计算法。

（四）说明：二重积分的概念与性质，应对照定积分进行充分理解。第十四章 无穷级数

（一）教学要求 通过本章学习，要求做到：

①理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件； ②掌握几何级数与p-级数的收敛与发散的条件； ③掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法；

④掌握交错级数的莱布尼茨判别法；

⑤掌握任意项级数的绝对收敛与条件收敛概念，以及绝对收敛与条件收敛性的关系；

⑥掌握幂级数收敛域的确定方法，了解幂级数的分析性质，会用间接法求简单幂级数的和函数； ⑦了解初等函数的幂级数展开方法，了解简单初等函数：的幂级数展开式，并能用于初等函数的间接展开。

（二）主要内容 常数项无穷级数的概念和性质，正项级数判敛，一般项级数判敛；幂级数及其性 质，初等函数的幂级数展开及其简单应用。

（三）重点：常数项级数基本性质，正项级数判敛法，幂级数收敛域。难点：任意项数项级数判 敛法，幂级数求和函数。

（四）说明：幂级数展开侧重于间接方法，幂级数的应用限于一般了解。

六、考核方式及要求

注重能力考核，实行“平时作业 + 平时考勤+期中考试+ 期末考试”相结合的总评模式。成绩总评：平时成绩（包括期中考试）占学期总成绩的50%，期末考试占学期总成绩的50%。

七、推荐教材及教学参考书

教材：微积分（理工类）（全国教育科“十一五”规划课题研究成果）（上、下册）胡桂华、吴 明华主编 高等教育出版社 2011.06-2011.1

2教学参考书：高等数学（全国高等农林院校十一五规划教材）（上、下册）王家军主编 中国农业 出版社 2009.09-2010.0

1高等数学（第六版，上、下册）同济大学应用数学系主编 高等教育出版社 2007.04 高等数学（第二版，上、下册）李心灿高等教育出版社 2003.08 微积分 苏德矿等 高等教育出版社 2004.7

制定日期：2013年4月30日