函数、极限与连续测试卷带答案_函数连续极限测试题

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上海民航学院

函数、极限与连续测试卷

总分100分命题人:叶茂莹

一、填空题（每空2分，共20分）

1、函数y32x|4的定义域是； 解：|32x|40,32x4,或32x4 2x1,或2x7

17x,或x 2

217x(,][,)222、把复合函数yearctan(1x)分解成简单的函数________________________； 解：yeu,uarctanv,v1x23、函数yarcsin2x的反函数是_____________________； 1解：ysinx,x, 222

1x

4、lim； xx2x

21x解：limxx2x1xlim1e2 xx2

(2x1)15(3x1)30

；

5、limx(3x2)4

5(2x1)15(3x1)302153302 解：lim4545x(3x2)33

x23x

26、lim2； x2x4x12x1x2limx11x23x2lim解：lim2 x2x6x2x4x12x2x6x28157、x1；

2解：

limx1xx1

2x12x1 x13x

13

4x2的连续区间为(x1)(x4)

解：x20,且x1x408、函数f(x)

x2,x1,x4,x[2,1)(1,4)(4,)

ax2bx

19、已知a，b为常数，lim2，则a，b.x2x

1ax2bx1解：因为x的最高次为2，lim2 x2x1

所以a0，b2，即b4

2x0在点x0处连续，则a

x0

x1lim1xxx022x

10、已知f(x)(1x)a解：limfxlim1xx0x0e

2因为fx在点x0处连续，f0alimfxe2，所以ae2。x0

二、单项选择题（每小题4分，共20分．）

1、下列函数中，定义域为全体实数的是（D）

yx2x（A）（B）y1(C)y2x1(D)yx24x5 lg|x1|

解：（A）yx2x，x2x0,xx10,x0或x1（B）y1,|x1|0,lg|x1|0,所以x1,x11,即x1,x0 lg|x1|

2x10，2x1，x0(C)y(D)yx24x5x210,xR2、当x0时，sin2x是x的（C）

（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小

(C)同阶但不等价无穷小(D)等价无穷小 解：limsin2x2 x0x3、下列极限值等于1的是（D）（A）limsinxsin2xsinxsinx（B）lim(C)lim(D)lim xx0x2xxxxx

sinx xx解：（A）lim

（B）lim

(C)lim

(D)limsin2x2 x0xsinxsin20 x2x2sinxsinxlim1 xxxx14、函数f(x)xsin在点x0处（B）． x

（A）有定义且有极限（B）无定义但有极限（C）有定义但无极限(D)无定义且无极限 111解：因为limx0sin1，所以limf(x)limxsin0 limf(x)limxsin，x0x0x0x0x0xxx5、下列叙述正确的是（B）（A）分段函数的分界点必是间断点

（B）函数无定义处必是间断点

(C)若limf(x)存在，则x0不可能是第一类跳跃间断点； xx0

(D)若f(x00)f(x00)A，则x0必是连续点

三、简单计算题（每小题5分，共30分）

2x,x01、设f(x)x，求f(1),f(1)； 2,x0

解：10,f(1)21

110,f(1)21

22、设f(sinx)cos2x1，求f(cosx)；

解：f(sinx)cos2x112sin2x122sin2x

f(cosx)22cos2x2sin2x1cos2x

x1x4，3、设函数f(x)=，求limf(x)及limf(x)，问limf(x)是否存x1x1x12x1，x1

在？；

fxlim解：limx45 x1x

1x1limfxlim2x11 x1

x1x1fxlimfx 因为lim

所以limfx不存在 x1

614、计算lim2； x2x3x9

6x361112limlim解：lim x2x2x3x2x9x3x3x35

21xsin，x05、设函数f(x)，讨论f(x)在x0的连续性； x

ax2，x0

解：因为limx0，sin

2x01211，所以limf(x)limxsin0 x0x0xxx0limfxlimax2a，f0a x0

x0x0f(x)0limf(x)f(0)，f(x)在x0的连续。当a0时，lim

f(x)0limf(x)f(0)a，f(x)在x0的不连续，为跳当a0时，limx0x0

跃间断点。

x2，0x

16、设函数f(x)，讨论f(x)在x1的连续性.x1x1，2fxlimx1，解：limx1x

1x1limf(x)limx12 x1

x1limfxlimfx x1

f(x)在x1的不连续，为跳跃间断点。

四、解答题（每小题6分，共30分）

1、lim

解：

x0x0x1； sin3xx0

1x0x1

6x21axb2、已知 lim0，求a,b的值； xx1

解：

x21axx1bx1x2ax2abx1bx21limaxblimlim0xxxx1x1x1

1a0,ab0

a1,b

1sin2x，x0

3、函数f(x)x，问常数k为何值时，函数f(x)在其定义域内3x22xk，x0

连续？；

解：

x0limfxlimx0

x0sin2x2，xx0limf(x)lim3x22xkk 

因为函数f(x)在其定义域内连续

所以limfx2limfxk x0x0

所以k

2ex，x0

4、设f(x)1，x0求limf(x),limf(x)并问f(x)在x0处是否连续？ x0x0sinx,x0x

解：因为

x0xlimfxlime1，x0

x0limf(x)limx0

x0sinx1 xx0所以limfx1limfxf0

所以f(x)在x0处是连续。

5、设函数f在[0,2a]上连续，且f(0)f(2a)，证明：存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)

证明：令gxfxafx,x0,a 因为f在[0,2a]上连续，所以gx在x0,a连续 g0f0af0=faf0

gafaafa=f2afaf0fa 所以g0ga0

所以存在点x0[0,a]，使得gx00。即存在点x0[0,a]，使得f(x0)f(x0a)