高数期末复习题_期末复习题高数

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重点：会求多元函数的定义域、极限、偏导数（注意复合函数链式法）、全微分；会判断二元函数的极限有不存在、多元函数的连续、可偏导、可微分的必要条件与充分条件；会求多元函数的极值（特别是条件极值）、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线（向量）以及方向导数及方向余弦。

一、单项选择题

1．设f(x,y)在(x0,y0)点的偏导数存在，则fx(x0,y0)（）。

A．limf(x0x,y0y)f(x0,y0)f(x0x,y0)f(x0,y0)Ｂ．lim x0x0xx

f(x,y)f(x0,y0)f(x,y)f(x0,y0)Ｃ．limＤ．lim xx0xx0xx0xx0yy0

2．函数f(x,y)在x,y(x0,y0)处可微是在该处连续的（）条件.A.充分B.必要C.充分必要D.无关的3．设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0,则().Ａ.(x0,y0)为极值点B.(x0,y0)为驻点

C.f(x,y)在(x0,y0)有定义D.(x0,y0)为连续点

4．设f(x,y)在(x0,y0)处偏导数存在,则f(x,y)在该点().Ａ.极限存在B.连续C.可微D.以上结论均不成 5.若函数f(x, y)在点(x,y)处不连续，则()。

A．limf(x, y)必不存在；B．f(x,y)必不存在； xxyy

C．f(x, y)在点(x,y)必不可微；D．fx(x,y)、fy(x,y)必不存6.fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的（）

A．必要非充分条件；B．充分非必要条件；

C．充分且必要条件；D．既非充分又非必要条件。

7．考虑二元函数f(x, y)的下面4 条性质：

①函数f(x, y)在点(x,y)处连续； ②函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数连续；③函数f(x, y)在点(x,y)处可微； ④函数f(x, y)在点(x,y)处两个偏导数存在。则下面结论正确的是（）。

A．②③①B．③②①C．③④①D．③①④。8．下列极限存在的为（）．

x2x11A．limB．limC．limD．limxsin

x0xyx0xyx0xyx0xyy0

y0

y0

y0

x2y

9．二元函数极限lim为（）。

(x,y)(0,0)x4y

2A．0B．;C．2D．不存在 10．设f(x,y)xyex，则fx(1,x)（）。

A．0B．eC．e(x1)D． 1+ex 11．函数zLn(x3y3)在（1，1）处的全微分dz=（）。

A.dxdyB.2(dxdy)C.3(dxdy)D.(dxdy)

2z

12．设zesin3y，则。（）

xy

2x

A．e2xsin3yB．e2xe2xsin3yC．6e2xcos3yD．6e2xsin3y 13．设yxey0,则

dy

()。dx

eyey1xeyxey1A．B.C.D.xey11xeyeyey

14．设函数zfx,y在点（0，0）的某邻域内有定义，且fx0,03，fy0,01，则有（）．

A．dz0,03dxdy．

B．曲面zfx,y在点0,0,f0,0的一个法向量为3,1,1．

C．曲线

zfx,y

在点0,0,f0,0的一个切向量为1,0,3．

y0

zfx,yD．曲线在点0,0,f0,0的一个切向量为3,0,1．

y0

15．设函数 f(x,y)x8y6xy5，则f(x,y)(D)。A．在(0,0)点有极小值B．没有极值

C．在(0,0)点有极大值D．在（1，16．函数fx,y4xyx2y2的极值为（）。）点有极小值2

A．极大值为8B．极小值为0C．极小值为8D．极大值为0 17.函数z2xy在点(1，2)沿各方向的方向导数的最大值为（）。A．3B．C． 0D．

5二、填空题

1．函数zln(1x)

yx2xy1的定义域是______________________。

2．极限lim

sinxy

 ＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿。

x2yy0

lim

3．二元函数的极限

(x,y)(0,0)

x2y2cos

。2

2xy

4．设ze

x2y，则dz。

5．设函数zz(x,y)由方程sinx2yzez所确定，则

z

= ______________。x

6．设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)3,fy(0,0)1, 则曲线zf(x,y),在点(0,0,f(0,0))的一个法平面为。

x0

7．设函数f(x,y)在点(0,0)的某邻域内有定义, 且fx(0,0)2,fy(0,0)5, 则曲线

zf(x,y),在点(0,0,f(0,0))处的切线方程为。

x0

8.若曲面z4x2y2上点P的切平面平行于2x2yz1,则点P的坐标为9．旋转抛物面zxy1在点（2，1，4）处的切平面方程为 10．曲面ze

x2y

2xy3在点(1, 0, 2)处的切平面方程为_________________。

11.曲面 zxy3上点（１,2，２）处的单位切向量为＿________________ 12．求曲线 xt,yt2,zt3在t1时的点的切线方程__。

13．函数uln(xyz)2yz在点(1,3,1)处沿方向l(1,1,1)的方向导数



u

=。l

14．uxyz在点M(5,1,2)处沿点（5，1，2）到点（9，4，14）的方向的方向导数为。

三、解答题 1．

计算极限：。

(x,y)(0,0)lim

(x,y)(0,0)lim

(1,1)

．计算极限：

3．设函数zz(x,y)由方程2xz2xyzln(xyz)所确定，求dz4．设zeusinv，而uxy，vxy求。

zz和．xy

zz2zx

5．设函数zz(x,y)由方程ln所确定，求。,zxxyy

y22z

6．设zf(2xy,),f具有二阶连续偏导数，求。

xxy

7．设函数u(xy)z，求du

(1,2,1)。

8．设x,y均是z的函数,且

xyz0dxdy,。，求22

2dzdzxyz1

8．已知两点A（2，2，2）和B（1，3，0），求向量的模、方向余弦和方向角． 9．求函数zxyx211yy3的极值点和极值。10．求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程。11．求函数fx,yx3y33x23y29x的极值．

12．将一个正数a分为三个正数x,y,z之和，当x,y,z为何值时它们的乘积xyz最大.13．求函数zxy1在y1x下的极值。

14．求曲面zxy与平面xy2z2之间的最短距离。15．求表面积为a而体积最大的长方体。

17．求二元函数f(x,y)xxyxy在以O(0,0),A(1,0),B(1,2),E(0,2)为顶点的闭

222

矩形区域D上的最大值和最小值。

19．某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告，据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费x(万元)及报纸广告费y(万元)之间有如下经验公式：。R(x,y)1514x32y8xy2x210y2，求最优广告策略（利润＝收入－成本）

四、证明题

x2y2

1． 证明极限lim不存在。

(x,y)(0,0)x2y2(xy)2

2．证明极限lim(1

xy

1)x

x2xy

不存在。

xy,x2y2022

3.设函数f(x,y)xy，证明：函数在（0，0）点不连续。

0,x2y20

4．设zx

y)，求证x

zz1y。xy2

5．设zxyyF(u)，而u

xzz，F(u)为可导函数，证明xyzxy yxy

zz

b1。xy

6．设f为可微函数，且xazf(ybz)，证明：a

2u2u2u

7．函数u(xyz),证明：2220。

xyz

2

8．证明：曲面xyzc3(c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值.