12函数极限_函数的极限1

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高等数学教案

§1.2函数极限

教学目标：

1.掌握各种情形下的函数极限的基本概念和性质。

2.掌握极限存在性的判定及应用。

3.熟练掌握求函数极限的基本方法。

教学重难点：函数极限的概念、性质及计算。

教学过程：

一、复习数列极限的定义及性质

二、导入新课：

由上节知，数列是自变量取自然数时的函数，xnf(n)，因此，数列是函数的一种特殊情况。对于函数，自变量的变化主要表现在两个方面：

1、自变量x任意接近于有限值a，记为xa，相应的函数值f(x)的变化情况。

2、当自变量x的绝对值x无限增大，记x，相应的函数值f(x)的变化情况。

三、讲授新课：

Ⅰ、当xa（a为有限实数）时函数f(x)的极限

（一）引例 曲线的切线：求抛物线y2x2在点M0(1,2)处的切线。

方法：割线――切线。求曲线的切线可归结为求出曲线在定点的切线斜率，从数量上看，动割线的斜率的极限就是切线的斜率。

（二）函数极限的概念

1、当xa（a为有限实数）时函数f(x)的极限

与数列极限的意义相仿，自变量趋于有限值a时的函数极限可理解为：当xa时，f(x)A（A为某常数），即当xa时，f(x)与A无限地接近，或说f(x)A可任意小，亦即对于预先任意给定的正整数（不论多么小），当x与a充分接近时，可使得f(x)A小于。用数学的语言说，即

定义(定义)：设函数f(x)在点a的某空心邻域内有定义，A为定数.若对＞0，＞0，使得当0＜|x-a|＜δ时有

f(x)A,则称xa时,函数f(x)以A为极限，记作 limf(x)A,或f(x)→A(x→a).xa

0，说明：（1）“x与x0充分接近”在定义中表现为：有0xx0，即xU(x0,)。



显然越小，此与数列极限中的N所起的作用是一样的，它也依赖于。x与x0接近就越好，一般地，越小，相应地也小一些。

（2）定义中“0＜|x-a|＜δ”指出xa，这说明，当xa时，函数f(x)有没有极限与

f(x)在点a有无定义无关。函数极限概念侧重于描述f(x)在xa且xa时的变化趋势。

正因为如此，这个概念能解决切线问题。

（3）函数极限limf(x)A的几何意义：当x在a的去心邻域时,函数yf(x)图形完全落在xa

以直线yA为中心线,宽为2的带形区域内.（|f(x)A|，Af(x)A)

y

A（4）在应用定义验证这种 类型的函数极限时，具体方法是：对任A给的0，通过不等式|f(x)A| 反解出|xx0|，进而找到满足条件的，证明结论。

Ⅱ、求函数极限

下面我们举例说明如何应用

定义来验证这种类型的函数极限。请读者特别注意以下

各例中的值（依赖于）是怎样确定的。

例1 证明limCC,(C为常数).xa

证明：任给0,任取0,当0xx0时,总有 f(x)cCC0，依定义，有limCC.xa

例2 证明lim(3x2)4.x

2证明：任给0,由于f(x)4(3x2)43x63x2,取

，则当

0x2时,总有f(x)4，所以lim(3x2)4.x2

x2

12.例3 证明lim

x1x1

证明：函数在点x=1处没有定义，x21

f(x)A2x1，任给0,要使

x1

x21x21

2.f(x)A,只要取,当0x1时,就有2,lim

x1x1x1

练习：

1、证明lim(axb)ax0b

xx0

(a0)

证明：对0，要使得(axb)(ax0b)a(xx0)axx0，只须

xx0



a，所以取



a

0显然当xx0时，有(axb)(ax0b)。

x21

2。

2、证明lim

2x12xx1

3x212x121x证明：对0，因为a1,所以x10. 2

2xx132x133(2x1)[此处x1，即考虑x01附近的情况，故不妨限制x为0x11，即0x2，xxx2121x

x1]。因为2x11,，要使,只须 ，即2

33(2x1)32xx13

x212

1,3}（从图形中解释），当0x时，有2x3。取min{。

2xx13

Ⅲ、单侧极限

有些函数在其定义域上某些点左侧与右侧的解析式不同（如分段函数定义域上的某些点），或函数在某些点仅在其一侧有定义（如在定义区间端点处），这时函数在那些点上的极限只能

1,x0,单侧地给出定义。例如函数f(x)，当x从左侧趋于0时，f(x)以1为极限.当x

x,x0.从右侧趋于0时，f(x)以0为极限.它们分别称为x趋于0时f(x)的左极限和右极限。

左极限：0,0,使得当axa时,都有f(x)A.则称A为函数f(x)当xa

时的左极限。记作 limf(x)A，或f(a0)A。

xa

右极限：0,0,使得当axa时,都有f(x)A.则称A为函数f(x)当xa

时的右极限。记作 limf(x)A，或f(a0)A。

xa

由左、右极限的定义不难看出，函数f(x)当xa时极限存在函数左、右极限存在且相等，即limf(x)limf(x).xa

xa

若左、右极限存在不相等，则极限不存在。

1,x0,

例4 函数f(x)sngx0,x0,当x0时极限不存在。

1,x0.

证明：事实上，f(x)的左极限limf(x)1，右极限limf(x)1，左右极限不相等，所以

x0

x0

limf(x)不存在。

x0

Ⅳ、当x时，函数f(x)的极限

（一）当x时，函数f(x)的极限

定义：对于任意给定的0，总存在一个M0,使得对于满足不等式xM的一切x,均有不等式f(x)A成立，则称函数f（x）当x∞时以A为极限，记作

limf(x)A

x

x

x，或 f(x)→A(x→∞).同样可以定义limf(x)A,limf(x)A.注意：(1)limf(x)A可看作数列极限limf(n)a的直接推广。它们不同之处在于，这里所

x

n

考虑的是所有大于M的实数（连续），而不仅仅是正整数(跳跃性的)。(2)limf(x)Alimf(x)limf(x)A。

x

x

x

（3）几何意义：当xM或xM时,函数yf(x)图形完全落在以直线yA为中心线,宽为2的带形区域内.（二）例题 例5 证明lim

0.xx

2110||x|M，只需，如果取，则对x2x2

证明：任意给定0，要使|一切满足xM的x，均有|

例6 证明lim

sinx

0.xx

0|，证毕。x2

证：要使

11sinxsinx

10,只需|x|.，因此对0,取M,当xM时,有

xxx

sinxsinx

0,故lim0.xxx

Ⅴ、函数极限的性质

下面以limf(x)为代表叙述函数极限的性质，这些性质对其余5种类型的函数极限也成立.xa1、(唯一性)若limf(x)存在，则此极限是唯一的.xa2、(局部有界性)若limf(x)A,存在某个00和常数M0,当0xx00时,有

xa

|f(x)|M.注意：如果一个数列收敛，则这个数列有界。但函数f(x)在点a有极限，只能断言它在某个

局部范围，即在点a的某空心邻域有界，称为局部有界。

3、(局部保号性)若limf(x)=A＞0(或＜0），则存在00，使当0xx00时,有f(x)0

xa

（或f(x)0）。

A，则由limf(x)=A，对上述0，总存在00，使当0xx00时,xa

2AA

有|f(x)A|0，因而f(x)A0A0.22

A

若A

xa2

AA

|f(x)A|0，因而f(x)A0A0.224、四则运算法则

证：设A>0，取0

设limf(x)与limg(x)存在，则函数f±g，f·g，(若limg(x)≠0)当x→a时极限存在且

xa

xa

fg

xx0

1)lim[f(x)g(x)]=limf(x)±limg(x)；

xa

xa

xa

2)lim[f(x)g(x)]=limf(x)limg(x)；

xa

xa

xa

f(x)f(x)limxa

3)lim=.(limg(x)≠0)

xag(x)limg(x)xx0

xa

注意：公式（1）、（2）可以推广到任意有限个函数的情况。特别地，有

lim[(f(x))n][limf(x)]n.xa

xa

例7 求lim[(3x22x1)(x33)].x

2x23x2

例8 求lim.（先约分）

x1x3

12x31

3x例9 求lim3.（分子分母同除以）

xx8x27x

x1,x0

例10 设f(x)x23x1，求limf(x),limf(x).x0x,x03

x1

（注意求limf(x)时，由于时分段函数，所以要求在x0时的左右极限。）

x0

四、习题处理

五、小结，作业：p36ex1、6、8.附录：设limf(x)A，limg(x)B。证明：

xx0

xx0

f(x)A

，（当 B≠0时）

xx0xx0xx0g(x)B

证明因为limf(x)A，limg(x)B所以0，分别存在10，20，使得当

（1）lim[f(x)g(x)]AB；（2）lim[f(x)g(x)]AB；（3）lim

xx0

xx0

0|xx0|1时，有|f(x)A|；当0|xx0|2时，有|g(x)B|。（1）取min{1,2}，于是当0|xx0|时，有

|(f(x)g(x))(AB)||f(x)A||g(x)B|2，所以lim[f(x)g(x)]AB。

xx0

同理可证：lim[f(x)g(x)]AB

xx0

（2）因为limf(x)A，由局部有界性定理，知存在30，使f(x)在U0(x0,3)有界。即存在xx0

M0，当0|xx0|3时，|f(x)|M。现在取min{1,2,3}，于是当0|xx0|时，有

|f(x)g(x)AB||f(x)g(x)f(x)B||f(x)BAB|

|f(x)||g(x)B|B|f(x)A|MB(MB)所以lim[f(x)g(x)]AB

xx0

B2

0，于是由局部保号性定理知，存在40，（3）因为limg(x)B0，limBg(x)B

xx0xx02

B2

当0|xx0|4时，|Bg(x)|。现在取min{1,2,4}，于是当0|xx0|时，有

f(x)ABf(x)Ag(x)|Bf(x)ABABAg(x)|

g(x)BBg(x)|B||g(x)|

|B||f(x)A||A||Bg(x)||B||A||B||A|

22

|B||g(x)|BBf(x)A

。所以lim

xx0g(x)B